Question

20．如圖所示，斜面和半徑為R的半圓形軌道分別與水平面成豎直軌道，軌道的水平部分較長，C為切點，斜面的傾角為θ．質量為m的小物塊從斜面上距水平面高為h=3R的A點由靜止開始下滑，物塊通過軌道連接處的B、C點時，無機械能損失，不計空氣阻力及一切摩擦．求：
（1）小物塊滑至B所需的時間；
（2）小物塊經過軌道最高點時對軌道的壓力及離開圓弧軌道后的落點與C點的距離．

Answer 1

分析 （1）物塊A到B過程，由機械能守恒定律即可求得物體通過B點時的速度，再由平均速度求時間；
（2）由機械能守恒定律可求得小物塊經過軌道最高點時的速度，再由牛頓第二定律和第三定律求出物體通過高點時對軌道的壓力．由平拋運動的規(guī)律求出離開圓弧軌道后的落點與C點的距離．

解答 解：（1）物塊A到B過程，由機械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又 h=3R
可得 v_B=$\sqrt{6gR}$
設小物塊滑至B所需的時間為t，則有 $\frac{h}{sinθ}$=$\frac{0+{v}_{B}}{2}t$
解得 t=$\frac{1}{sinθ}$$\sqrt{\frac{6R}{g}}$
（2）從開始到軌道最高點的過程，由機械能守恒定律得
  mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得 v=$\sqrt{2gR}$
在軌道最高點，由牛頓第二定律得
  mg+N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得  N=mg
由牛頓第三定律得知，小物塊經過軌道最高點時對軌道的壓力 N′=N=mg
物塊離開軌道最高點后做平拋運動，則有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  x=vt
解得 x=2$\sqrt{2}$R
答：
（1）小物塊滑至B所需的時間是$\frac{1}{sinθ}$$\sqrt{\frac{6R}{g}}$；
（2）小物塊經過軌道最高點時對軌道的壓力是mg，離開圓弧軌道后的落點與C點的距離是2$\sqrt{2}$R．

點評 本題關鍵要掌握機械能守恒定律及向心力知識，對于第1小題，也可以根據牛頓第二定律求出加速度，再由位移時間公式求時間．