(2007?廣東)土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒,其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng).其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中心距離分別為rA=8.0×104km和rB=1.2×105km.忽略所有巖石顆粒間的相互作用,求:(結(jié)果可用根式表示)
(1)求巖石顆粒A和B的線速度之比;
(2)求巖石顆粒A和B的周期之比;
(3)土星探測器上有一物體,在地球上重為10N,推算出他在距土星中心3.2×105km處受到土星的引力為0.38N.已知地球半徑為6.4×103km,請估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍?
分析:(1)由萬有引力提供向心力即可列式求解;
(2)同樣根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解;
(3)根據(jù)萬有引力公式直接列式比較即可求解.
解答:解:(1)設(shè)土星質(zhì)量為M0,顆粒質(zhì)量為m,顆粒距土星中心距離為r,線速度為v,據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有
                         
GM0m
r2
=
mv2
r

解得
                        v=
GM0
r

對于A、B兩顆粒分別有
                        vA=
GM0
rA

                        vB=
GM0
rB

解得
                       
vA
vB
=
6
2

故巖石顆粒A和B的線速度之比為
6
:2.
(2)設(shè)顆粒繞土星作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,則有
                        T=
2πr
v

對于A、B兩顆粒分別有
                        TA=
rA
vA

                        TB=
rB
vB

解得
                      
TA
TB
=
2
6
9

故巖石顆粒A和B的周期之比為2
6
:9.
(3)設(shè)地球質(zhì)量為M,地球半徑為r0,地球上物體的重力可視為萬有引力,探測器上物體質(zhì)量為m0,在地球表面重力為
G0,距土星中心r0′=3.2×105 km處的引力為G0′,根據(jù)萬有引力定律有
                     G0=
GMm0
r02

                     
G
/
0
=
GM0m0
r′2
    
解得
                     
M0
M
=95

故土星質(zhì)量大約是地球質(zhì)量的95倍.
點(diǎn)評:本題是萬有引力定律得簡單應(yīng)用問題,可列出表達(dá)式直接對比求解.
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