Question

15．“大自然每個(gè)領(lǐng)域都是美妙絕倫的．”隨著現(xiàn)代科技發(fā)展，人類不斷實(shí)現(xiàn)著“上天入地”的夢(mèng)想，但是“上天容易入地難”，人類對(duì)腳下的地球還有許多未解之謎．地球可看作是半徑為R的球體．
（1）以下在計(jì)算萬(wàn)有引力時(shí)，地球可看作是質(zhì)量集中在地心的質(zhì)點(diǎn)．
a．已知地球兩極的重力加速度為g₁，赤道的重力加速度為g₂，求地球自轉(zhuǎn)的角速度ω；
b．某次地震后，一位物理學(xué)家通過(guò)數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)地球的半徑和質(zhì)量以及兩極的重力加速度g₁都沒(méi)變，但赤道的重力加速度由g₂略微減小為g₃，于是他建議應(yīng)該略微調(diào)整地球同步衛(wèi)星的軌道半徑．請(qǐng)你求出同步衛(wèi)星調(diào)整后的軌道半徑r'與原來(lái)的軌道半徑r之比$\frac{r'}{r}$．
（2）圖1是地球內(nèi)部地震波隨深度的分布以及由此推斷出的地球內(nèi)部的結(jié)構(gòu)圖．在古登堡面附近，橫波（S）消失且縱波（P）的速度與地表處的差不多，于是有人認(rèn)為在古登堡面附近存在著很薄的氣態(tài)圈層，為了探究氣態(tài)圈層的壓強(qiáng)，兩位同學(xué)提出了以下方案．
甲同學(xué)的方案：如圖2所示，由于地球的半徑非常大，設(shè)想在氣態(tài)圈層的外側(cè)取一底面積很小的柱體，該柱體與氣態(tài)圈層的外表面垂直．根據(jù)資料可知古登堡面的半徑為R₁，氣態(tài)圈層之外地幔及地殼的平均密度為ρ，平均重力加速度為g，地球表面的大氣壓強(qiáng)相對(duì)于該氣態(tài)圈層的壓強(qiáng)可忽略不計(jì)．
乙同學(xué)的方案：設(shè)想在該氣態(tài)圈層內(nèi)放置一個(gè)正方體，并且假定每個(gè)氣體分子的質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n，分子大小可以忽略，其速率均相等，且與正方體各面碰撞的機(jī)會(huì)均等，與各面碰撞前后瞬間，分子的速度方向都與各面垂直，且速率不變．根據(jù)古登堡面附近的溫度可推知?dú)怏w分子運(yùn)動(dòng)的平均速率為v．
請(qǐng)你選擇其中的一種方案求出氣態(tài)圈層的壓強(qiáng)p．

Answer 1

分析 （1）先求地震前后得角速度之比，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求地震前后的同步衛(wèi)星的軌道半徑之比
（2）根據(jù)甲乙兩同學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)方案任選一種模型求解即可

解答 解：（1）a．設(shè)地球的質(zhì)量為M，對(duì)于質(zhì)量為m的物體，
在兩極有：$m{g}_{1}^{\;}=\frac{GMm}{{R}_{\;}^{2}}$…①
在赤道，根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_2}=mR{ω^2}$…②
聯(lián)立①②可得：$ω=\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{R}}$  
b．設(shè)地震后地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω'，
根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{R^2}-m{g_3}=mR{ω'^2}$…③
聯(lián)立①③可得：$ω′=\sqrt{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{3}^{\;}}{R}}$
設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m'，根據(jù)牛頓第二定律，
地震前有：$G\frac{Mm′}{{r}_{\;}^{2}}=m′r{ω}_{\;}^{2}$…④
地震后有：$\frac{GMm'}{{{{r'}^2}}}=m'r'{ω'^2}$…⑤
聯(lián)立①②③④⑤可得：$\frac{r′}{r}=\root{3}{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{{g}_{1}^{\;}-{g}_{3}^{\;}}}$
（2）甲同學(xué)的方案：
設(shè)該柱體的底面積為S，則柱體的總重力為：G=ρS（R-R₁）g…⑥
該柱體靜止，支持力與重力的合力為零．即：${F}_{重}^{\;}=G$…⑦
由牛頓第三定律可知，柱體對(duì)氣態(tài)圈層的壓力 ${F}_{壓}^{\;}={F}_{重}^{\;}$…⑧
氣態(tài)圈層中的氣體壓強(qiáng)為$p=\frac{F_壓}{S}$…⑨
聯(lián)立⑥⑦⑧⑨式可得：p=ρ（R-R₁）g
乙同學(xué)的方案：
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a，△t時(shí)間內(nèi)與一個(gè)面發(fā)生碰撞的氣體分子數(shù)為N，則：
$N=\frac{1}{6}n{a}_{\;}^{3}$…⑩
$△t=\frac{a}{v}$…⑪
設(shè)該面與氣體分子間的壓力大小為F，由動(dòng)量定理得：
-F△t=Nm（-v）-Nmv…⑫
則氣體的壓強(qiáng)為：$p=\frac{F}{a^2}$…⑬
聯(lián)立⑩式可得：$p=\frac{1}{3}nm{v^2}$
答：（1）同步衛(wèi)星調(diào)整后的軌道半徑r'與原來(lái)的軌道半徑r之比$\frac{r′}{r}=\root{3}{\frac{{g}_{1}^{\;}-{g}_{2}^{\;}}{{g}_{1}^{\;}-{g}_{3}^{\;}}}$
（2）甲同學(xué)方案，氣態(tài)圈中的氣體壓強(qiáng)為$ρ（R-{R}_{1}^{\;}）g$；
乙同學(xué)方案，氣態(tài)圈中的氣體壓強(qiáng)為$\frac{1}{3}nm{v}_{\;}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題的閱讀量較大，本題的物理模型非常經(jīng)典，對(duì)經(jīng)典問(wèn)題的創(chuàng)新考查，但整體而言，題目很基礎(chǔ)，適合高三一輪復(fù)習(xí)．