Question

20．拉格朗日點(diǎn)是指在兩個(gè)大物體的引力作用下，能使小物體穩(wěn)定的點(diǎn)，它是由法國數(shù)學(xué)家拉格朗日推算得出的，如圖所示，在地球和月球的連線上有拉格朗日點(diǎn)L₁，處在該點(diǎn)的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運(yùn)動(dòng)，已知地心到L₁的距離為月到L₁的距離的k倍，則地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比為（提示：物體對月球的引力可忽略不計(jì)）（　�。�

• A． $\frac{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}{{（k+1）}^{3}-{k}^{3}}$
• B． $\frac{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}{{{k}^{3}-（k+1）}^{3}}$
• C． $\frac{{{（k+1）}^{3}-k}^{3}}{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}$
• D． $\frac{{{（k+1）}^{3}+k}^{3}}{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}$

Answer 1

分析 物體受到地球和月球引力的合力提供向心力，月球受到地球的萬有引力提供向心力，周期相同，兩個(gè)向心力方程相比即可求解；

解答 解：設(shè)位于拉格朗日點(diǎn)的物體質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為${M}_{地}^{\;}$，月球質(zhì)量為${m}_{月}^{\;}$
物體到月球的距離為x，則物體到地心的距離為kx，月球到地心距離為（kx+x）
對物體：$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{（kx）_{\;}^{2}}-G\frac{{m}_{月}^{\;}m}{{x}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（kx）$①
對月球：$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{（kx+x）_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（kx+x）$②
聯(lián)立①②得：$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{m}_{月}^{\;}}=\frac{{k}_{\;}^{2}（k+1）_{\;}^{3}}{（k+1）_{\;}^{3}-{k}_{\;}^{3}}$，故A正確，BCD錯(cuò)誤；
故選：A

點(diǎn)評 本題是一道創(chuàng)新題，有一定的難度，關(guān)鍵是搞清月球和位于拉格朗日點(diǎn)的物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，知道它們的周期相等，選擇含有周期的向心力公式求解．