Question

20．拉格朗日點是指在兩個大物體的引力作用下，能使小物體穩(wěn)定的點，它是由法國數(shù)學家拉格朗日推算得出的，如圖所示，在地球和月球的連線上有拉格朗日點L₁，處在該點的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運動，已知地心到L₁的距離為月到L₁的距離的k倍，則地球質(zhì)量與月球質(zhì)量之比為（提示：物體對月球的引力可忽略不計）（　�。�

• A． $\frac{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}{{（k+1）}^{3}-{k}^{3}}$
• B． $\frac{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}{{{k}^{3}-（k+1）}^{3}}$
• C． $\frac{{{（k+1）}^{3}-k}^{3}}{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}$
• D． $\frac{{{（k+1）}^{3}+k}^{3}}{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}$

Answer 1

分析 物體受到地球和月球引力的合力提供向心力，月球受到地球的萬有引力提供向心力，周期相同，兩個向心力方程相比即可求解；

解答 解：設(shè)位于拉格朗日點的物體質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為${M}_{地}^{\;}$，月球質(zhì)量為${m}_{月}^{\;}$
物體到月球的距離為x，則物體到地心的距離為kx，月球到地心距離為（kx+x）
對物體：$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{（kx）_{\;}^{2}}-G\frac{{m}_{月}^{\;}m}{{x}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（kx）$①
對月球：$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{（kx+x）_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（kx+x）$②
聯(lián)立①②得：$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{m}_{月}^{\;}}=\frac{{k}_{\;}^{2}（k+1）_{\;}^{3}}{（k+1）_{\;}^{3}-{k}_{\;}^{3}}$，故A正確，BCD錯誤；
故選：A

點評 本題是一道創(chuàng)新題，有一定的難度，關(guān)鍵是搞清月球和位于拉格朗日點的物體做勻速圓周運動的向心力來源，知道它們的周期相等，選擇含有周期的向心力公式求解．