Question

15．在如圖所示的圓錐擺中，已知繩子長度為L，繩子轉(zhuǎn)動過程中與豎直方向的夾角為θ，試求小球做圓周運(yùn)動的周期、角速度、線速度．

Answer 1

分析 對小球受力分析，小球受重力，繩的拉力，合力水平方向指向圓心，根據(jù)幾何關(guān)系求解小球所受合力，再根據(jù)合力提供圓周運(yùn)動向心力求得小球圓周運(yùn)動的周期、角速度和線速度．

解答 解：如圖對小球進(jìn)行受力分析，受重力和繩子的拉力，
根據(jù)力的合成可知：F_合=mgtanθ
由圖可知，小球圓周運(yùn)動的半徑為：r=Lsinθ
小球所受合力提供小球圓周運(yùn)動的向心力有：
${F}_{合}=mgtanθ=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=mr{ω}^{2}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得小球圓周運(yùn)動的周期為：T=$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}r}{gtanθ}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lsinθ}{gtanθ}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$
小球的運(yùn)動的角速度為：$ω=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}}$=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
小球運(yùn)動的線速度為：$v=\sqrt{grtanθ}$=$\sqrt{gLsinθtanθ}$
答：小球做圓周運(yùn)動的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{Lcosθ}{g}}$，角速度為$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$，線速度為$\sqrt{gLsinθtanθ}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是知道小球在水平面內(nèi)圓周運(yùn)動的向心力由繩的拉力和重力的合力提供，正確的受力分析是正確解題的基礎(chǔ)．