Question

6．如圖所示，兩根足夠長的金屬導軌MN，PQ平行放置，導軌平面與水平面成θ=37°角，間距L=0.5m，導軌N，Q兩端接有阻值R=4Ω的電阻，整個裝置放在磁感應強度B₀=2.0T的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面向上，質量m=0.2kg，電阻r=1Ω的金屬棒cd在距離導軌N，Q端s=2m處垂直導軌放置，不計金屬導軌的電阻，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）若導軌光滑，金屬棒由靜止釋放，求金屬棒最大速度v及此時電阻R上的功率P；
（2）若金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.8，磁感應強度從B₀均勻增大到2B₀的過程中，金屬棒始終能保持靜止，求磁感應強度變化率$\frac{△B}{△t}$的最大值；
（3）若導軌光滑，金屬棒沿軌道向下做初速度為0，加速度a=gsinθ的勻加速運動，求磁感應強度B_t隨時間t變化的表達式．

Answer 1

分析 （1）金屬棒速度最大時，加速度為0，金屬棒受力平衡，結合法拉第電磁感應定律和閉合電路歐姆定律即可求解最大速度，由功率公式求解R上的功率；
（2）磁感應強度均勻變化均勻變化，導體棒靜止，根據法拉第電磁感應定律知，電動勢和電流不變，磁感應強度的變化率最大時，感應電動勢最大，感應電流最大，金屬棒受到的安培力最大，此時靜摩擦力達到最大值且沿導軌向下，根據金屬棒的受力平衡方程和法拉第電磁感應定律即可求解$\frac{△B}{△t}$的最大值；
（3）根據導體棒的加速度a=gsinθ，知金屬棒的合力等于重力沿斜面向下的分力，安培力為0，回路無感應電流，磁通量不變，根據初末狀態(tài)的磁通量相等即可求解磁感應強度Bt隨時間t變化的表達式；

解答 解：（1）金屬棒速度最大時，有
$mgsinθ={B}_{0}^{\;}IL$
感應電動勢$E={B}_{0}^{\;}Lv$
由閉合電路歐姆定律：E=I（R+r）
R上的功率：$P={I}_{\;}^{2}R$
代入數據解得：v=6m/s，P=5.76W
（2）磁感應強度均勻增大，金屬棒始終靜止，即電路中的電流始終不變，且電流受到安培力的方向沿軌道平面向上；當磁感應強度為${B}_{0}^{\;}$時，安培力最小，當磁感應強度為$2{B}_{0}^{\;}$時，安培力最大．因為μmgcosθ＞mgsinθ，滿足磁感應強度為2${B}_{0}^{\;}$時，金屬棒靜止，整個過程中都能靜止，當金屬棒受到的摩擦力方向沿軌道平面向下達到最大值時，磁感應強度變化率最大．
${E}_{1}^{\;}=\frac{△B}{△t}•Ls$
${E}_{1}^{\;}={I}_{1}^{\;}（R+r）$
根據受力平衡，有
$2{B}_{0}^{\;}{I}_{1}^{\;}L=mgsinθ+μmgcosθ$
代入數據解得$\frac{△B}{△t}=6.2T/s$，即為變化率的最大值
（3）金屬棒沿軌道向下做初速度為0，加速度a=gsinθ的勻加速運動，即受到安培力為0，也就是電路中的感應電流為0，磁通量不發(fā)生變化．
${Φ}_{0}^{\;}={B}_{0}^{\;}Ls$
${Φ}_{t}^{\;}={B}_{t}^{\;}（s+{s}_{t}^{\;}）$
位移：$s=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
代入數據解得${B}_{t}^{\;}=\frac{4}{3{t}_{\;}^{2}+2}$
答：（1）若導軌光滑，金屬棒由靜止釋放，金屬棒最大速度v為6m/s，此時電阻R上的功率P為5.76W；
（2）若金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.8，磁感應強度從B0均勻增大到2B0的過程中，金屬棒始終能保持靜止，磁感應強度變化率$\frac{△B}{△t}$的最大值為6.2T/s；
（3）若導軌光滑，金屬棒沿軌道向下做初速度為0，加速度a=gsinθ的勻加速運動，磁感應強度Bt隨時間t變化的表達式${B}_{t}^{\;}=\frac{4}{3{t}_{\;}^{2}+2}$

點評 本題是電路知識、電磁感應和力學知識的綜合，分析和計算安培力是個解題的關鍵，根據安培力與速度的關系，能正確分析棒的運動過程，是應該培養(yǎng)的基本能力．