Question

6．如圖所示，n個相同的木塊（可視為質點），每塊的質量都是m，從右向左沿同一直線排列在水平桌面上，相鄰木塊間的距離均為L，第n個木塊到桌邊的距離也是L，木塊與桌面間的動摩擦因數為μ．開始時，第1個木塊以初速度v₀向左滑行，其余所有木塊都靜止，在每次碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運動．最后第n個木塊剛好滑到桌邊而沒有掉下．
（1）求在整個過程中因碰撞而損失的總動能；
（2）求第i次（i＜n）碰撞中損失的動能與碰撞前動能之比；
（3）若n=4，L=0.10m，v₀=3.0m/s，重力加速度g=10m/s²，求μ的數值．

Answer 1

分析 （1）在整個過程中因碰撞和摩擦損失的總動能等于初動能△E_k=$\frac{1}{2}$mv₀²，求出克服摩擦力做功，得到因摩擦而損失的動能，就能求得因碰撞而損失的總動能．
（2）根據動量守恒定律求出第i次（i≤n一1）碰撞前后速度關系，即可求得碰撞中損失的動能與碰撞前動能之比．
（3）分別求得各次碰撞前后的動能，得到第3次碰撞后的動能，結合題意：第n=4個木塊剛好滑到桌邊而沒有掉下，運用功能關系求μ．

解答 解：（1）整個過程木塊克服摩擦力做功 W=μmgl+μmg•2l+…+μmg•nl=$\frac{n（n+1）μmgl}{2}$①
根據功能關系，整個過程中由于碰撞而損失的總動能為
△E_k=E_k0-W      ②
得△E_k=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{n（n+1）μmgl}{2}$    ③
（2）設第i次（i≤n一1）碰撞前木塊的速度為υ_i，碰撞后速度為υ_i′，則
（i+1）mυ_i′=imυ_i ④
碰撞中損失的動能△E時與碰撞前動能E_ki之比為
$\frac{△{E}_{Ki}}{{E}_{Ki}}$=$\frac{\frac{1}{2}im{{v}_{i}}^{2}-\frac{1}{2}（i+1）m{{v}_{i}}^{2}}{\frac{1}{2}im{{v}_{i}}^{2}}$（i≤n-1）⑤
解得$\frac{△{E}_{Ki}}{{E}_{Ki}}$=$\frac{1}{i+1}$ （i≤n-1）⑥
（3）初動能E_k0=$\frac{1}{2}$mv₀²
第1次碰撞前E_K1=E_KO-μmgl              ⑦
第1次碰撞后   E_K1′=E_K1-△E_K1=E_K1-$\frac{1}{2}$E_K1=$\frac{1}{2}$E_K0-$\frac{1}{2}$μmgl   ⑧
第2次碰撞前  E_K2=E_K1′=μ（2mg）l=$\frac{1}{2}$E_K0-$\frac{1}{2}$μmgl
第2次碰撞后 E_K2′=E_K2-△E_K2=$\frac{1}{3}$E_K0-$\frac{5}{3}$μmgl
第3次碰撞前   E_K3=E_K3′-μ（3mg）l=$\frac{1}{3}$E_K0-$\frac{14}{3}$μmgl
第3次碰撞后   E_K3′=E_K3-△E_K3=$\frac{1}{4}$E_K0-$\frac{7}{2}$μmgl
據題意有     $\frac{1}{4}$E_K0-$\frac{7}{2}$μmgl=μ（4mg）l      ⑨
代入數據，聯立求解得    μ=0.15         ⑩
答：
（1）在整個過程中因碰撞而損失的總動能為$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{n（n+1）μmgl}{2}$．
（2）第i次（i≤n一1）碰撞中損失的動能與碰撞前動能之比為1：（i+1）．
（3）若n=4，l=0.10m，υ₀=3.0m/s，重力加速度g=10m/s²，μ的數值是0.15．

點評 本題是動量守恒與功能關系結合的類型，采用歸納法求解若干次碰撞的過程，難度較大．