Question

8．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸水平向右，y軸豎直向上，在第四象限同時存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場E和以O(shè)N為直徑的半圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向處置坐標(biāo)平面向外．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的微粒，從y軸正半軸上y=h處的M點，以速度v₀垂直于y軸射入，經(jīng)x軸上x=2h處的P點進(jìn)入復(fù)合場區(qū)，最后以垂直于y軸的方向再次經(jīng)過y軸離開第四象限，勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E=$\frac{mg}{q}$，求：
（1）微粒通過P點時的速度v；
（2）微粒在半圓形場區(qū)中運動的軌道半徑r；
（3）微粒從M點出發(fā)到再次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的總時間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動規(guī)律，結(jié)合運動學(xué)公式，及矢量合成法則，即可求解；
（2）應(yīng)用動能定理即可求得電場中粒子的速度，粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場中運動的半徑；
（3）粒子的運動分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運動，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運動，三是在第四象限內(nèi)做勻速直線運動，分段求出時間，相加可得總時．

解答 解：（1）微粒在重力作用下，做平拋運動，
根據(jù)運動的分解，則有：水平方向，2h=v₀t；
豎直方向，h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
聯(lián)立，解得：$\frac{{v}_{0}}{gt}=1$，
即在P點的速度方向與x軸的夾角為45°，
那么微粒通過P點時的速度v=$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）由題意可知，在第四象限，mg=qE，即重力等于電場力，
微粒先做平拋運動，再做勻速圓周運動，最后做勻速直線運動，
運動軌跡如圖所示：

設(shè)微粒在磁場中半徑為r，設(shè)粒子進(jìn)入磁場時速度為v，根據(jù)Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
求出運動軌道的半徑：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$
（3）粒子在電場中運動的時間：t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$
粒子在磁場中運動的周期：T=$\frac{2πr}{v}$
設(shè)粒子在磁場中運動的時間為t₂，由幾何關(guān)系可知粒子的偏轉(zhuǎn)角為135°，
所以有：t₂=$\frac{135°}{360°}$•T=$\frac{3πm}{4qB}$
粒子離開磁場后運動的時間：t₃=$\frac{x}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{2h-\frac{\sqrt{2}}{2}r}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}h}{{v}_{0}}$-$\frac{\sqrt{2}m}{2Bq}$
求出總時間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2+\sqrt{2}）h}{{v}_{0}}$+（$\frac{3π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）$\frac{m}{Bq}$
答：（1）微粒通過P點時的速度大小$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與x軸夾角為45°；
（2）微粒在半圓形場區(qū)中運動的軌道半徑$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（3）微粒從M點出發(fā)到再次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的總時間$\frac{（2+\sqrt{2}）h}{{v}_{0}}$+（$\frac{3π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）$\frac{m}{Bq}$．

點評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運動，畫出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系，分為類似平拋運動和勻速圓周運動進(jìn)行分析計算．