Question

如圖6-7-9所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的1/4圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央.一個(gè)小球P從A點(diǎn)的正上方距水平半徑OA高H處自由落下到通過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力等于其重力的倍.（取g=10m/s²)求：

圖6-7-9

（1）H的大小.

（2）試討論此球能否到達(dá)BDO軌道的O點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

（3）小球沿軌道運(yùn)動(dòng)后再次落到軌道上的速度的大小是多少？

Answer 1

思路分析：小球從H高處落下，進(jìn)入軌道，沿BDO軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，小球受重力和軌道的支持力.設(shè)小球通過(guò)D點(diǎn)的速度為v，通過(guò)D點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力為F（大小等于小球?qū)�軌道的壓力）是它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即mg=m①

小球從P點(diǎn)落下直到沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，有

mg(H+)=mv²②

由①②式可得高度H=R=10 m

設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的最小速率為v_c，有m=mg③

小球至少應(yīng)從H_c高處落下，mgH_c=mv_c²④

③④式可得H_c=，由于H＞H_c，小球可以通過(guò)O點(diǎn).

小球由H落下通過(guò)O點(diǎn)的速率為v₀==14.1 m/s

小球通過(guò)O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球經(jīng)時(shí)間t落到AB圓弧軌道上，建立直角坐標(biāo)系，有

x=v₀t⑤

y=gt²⑥

且x²+y²=R²⑦

由⑤⑥⑦可解得時(shí)間t=1 s(另解舍棄)，落到軌道上速度的大小v==17.3 m/s.

答案：（1）10 m  （2)小球能通過(guò)O點(diǎn)  理由略  （3）17.3 m/s