Question

17．如圖甲所示，在xOy豎直平面內(nèi)存在豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第一象限內(nèi)有一與x軸相切于點(diǎn)（2R，0）、半徑為R的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)存在垂直于xOy面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)隨時(shí)間變化如圖乙、丙所示，設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度豎直向下為正方向，磁場(chǎng)垂直紙面向里為正方向，電場(chǎng)、磁場(chǎng)同步周期性變化（每個(gè)周期內(nèi)正反向時(shí)間相同）．一帶正電的小球A沿y軸方向下落，t=0時(shí)刻A落至點(diǎn)（0，3R），此時(shí)，另一帶負(fù)電的小球B從最高點(diǎn)（2R，2R）處開(kāi)始在磁場(chǎng)內(nèi)緊靠磁場(chǎng)邊界作勻速圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)A球再下落R時(shí)，B球旋轉(zhuǎn)半圈到達(dá)點(diǎn)（2R，0）；當(dāng)A球到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，B球又旋轉(zhuǎn)半圈回到最高點(diǎn)；然后A球開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，兩球的質(zhì)量均為m，電量大小均為q．（不計(jì)空氣阻力及兩小球之間的作用力，重力加速度為g）求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大�。�
（2）小球B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T及勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（3）電場(chǎng)、磁場(chǎng)變化第一個(gè)周期末AB兩球間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可知，電場(chǎng)力和重力相互平衡，則可求得電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）明確A球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及AB兩球的等時(shí)性，則可求得B球圓周運(yùn)動(dòng)的周期T；再對(duì)B球由洛侖茲力充當(dāng)向心及周期公式可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）明確電場(chǎng)變化與圓周運(yùn)動(dòng)周期的關(guān)系，根據(jù)后來(lái)兩球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分別求得兩球的位置，即可求得兩球間的距離．

解答 解：（1）小球B勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有：
Eq=mg
解得E=$\frac{mg}{q}$；
（2）設(shè)小球B的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)
對(duì)A小球：Eq+mg=ma
a=2g；
由題意可知，A在連續(xù)相等的時(shí)間內(nèi)，位移之差為R，則有△x=aT²可得：
R=a（$\frac{T}{2}$）²
解得；T=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；
對(duì)B小球，Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\frac{2πR}{T}$
解得：B=$\frac{πm}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（3）由分析可得，電磁場(chǎng)變化周期是B球圓周運(yùn)動(dòng)周期的2倍，
對(duì)小球A分析可知，小球A在原點(diǎn)的速度為v_A=$\frac{3R}{T}$+a$\frac{T}{2}$
在原點(diǎn)下的位移為y_A=v_AT
解得：y_A=5R；
2T末，小球A的坐標(biāo)為（0，-5R）
對(duì)小球B可知，B的線(xiàn)速度v_B=$π\(zhòng)sqrt{2gR}$
小球的水平位移為x_b=v_BT=2πR
豎直位移y_b=$\frac{1}{2}$aT²
解得y_b=2R；
2T末，小球B的坐標(biāo)為[（2π+2）R，0]
則2T末，AB兩球的距離為AB=$\sqrt{25+（2π+2）^{2}}R$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E的大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）小球B作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T為$\sqrt{\frac{2R}{g}}$；勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{πm}{q}$$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（3）電場(chǎng)、磁場(chǎng)變化第一個(gè)周期末AB兩球間的距離$\sqrt{25+（2π+2）^{2}}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意明確本題中粒子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，分別對(duì)兩球進(jìn)行分析，選擇合適的物理規(guī)律進(jìn)行求解即可；同時(shí)要注意緊扣兩球的時(shí)間相等；從而確定二者間的聯(lián)系．