Question

12．如圖所示，在磁感應強度大小為B、方向垂直向上的勻強磁場中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導軌，在導軌面上各放一根完全相同的質量為m的勻質金屬桿A₁和A₂，開始時兩根金屬桿位于同一豎直面內且桿與軌道垂直．設兩導軌面相距為H，導軌寬為L，導軌足夠長且電阻不計，金屬桿單位長度的電阻為r．現有一質量為$\frac{m}{2}$的不帶電小球以水平向右的速度v₀撞擊桿A₁的中點，撞擊后小球反彈落到下層面上的C點．C點與桿A₂初始位置相距為S．求：
（1）回路內感應電流的最大值；
（2）整個運動過程中感應電流最多產生了多少熱量；
（3）當桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大�。�

Answer 1

分析 （1）小球撞擊金屬桿的過程，遵守動量守恒定律．根據動量守恒定律列式．根據平拋運動的規(guī)律求出碰后小球的速度．從而求出金屬桿獲得的速度．再由法拉第定律和歐姆定律結合求出碰后瞬間電路中的電流，即回路內感應電流的最大值．
（2）碰后，在安培力作用下，金屬桿A₁做減速運動，金屬桿A₂做加速運動，當兩桿速度大小相等時，回路內感應電流為0，根據動量守恒定律和能量守恒定律結合求解熱量．
（3）金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個金屬U形導軌上都做變速運動，運動方向相同（都向右），同一時刻兩桿都切割磁感線產生感應電動勢，兩個感應電動勢在空間中的方向相同（都向外），但兩個感應電動勢在回路中的方向相反，所以總電動勢是這兩個電動勢之差，即E=BL（v₁-v₂），電流是電流是$I=\frac{{BL（{v_1}-{v_2}）}}{R}$，方向為金屬桿A₁中感應電流的方向，因為A₁比A₂產生的感應電動勢大，安培力是$F=\frac{{{B^2}{L^2}（{v_1}-{v_2}）}}{R}$，方向都和速度方向相反（都向左）．根據安培力公式求解．

解答 解：（1）設撞擊后小球反彈的速度為v₁，金屬桿A₁的速度為v₀₁，取水平向右為正方向，根據動量守恒定律，得  $\frac{m}{2}{v_0}=\frac{m}{2}（-{v_1}）+m{v_{01}}$，①
對于小球的平拋運動，根據平拋運動的分解，有 S=v₁t，$H=\frac{1}{2}g{t^2}$
由以上兩式解得 v₁=$S\sqrt{\frac{g}{2H}}$ ②
②代入①得 ${v_{01}}=\frac{1}{2}（{v_0}+S\sqrt{\frac{g}{2H}}）$ ③
回路內感應電動勢的最大值為E_m=BLv₀₁
電阻為R=2Lr
所以回路內感應電流的最大值為  I_m=$\frac{{B（{v_0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）}}{4r}$．       ④
（2）因為在安培力的作用下，金屬桿A₁做減速運動，金屬桿A₂做加速運動，當兩桿速度大小相等時，回路內感應電流為0，根據能量守恒定律，$\frac{1}{2}mv_{01}^2=Q+\frac{1}{2}•2m{v^2}$  ⑤
其中v是兩桿速度大小相等時的速度，根據動量守恒定律，mv₀₁=2mv
所以 $v=\frac{1}{2}{v_{01}}$，代入⑤式得 Q=$\frac{1}{16}m$${（{v_0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）^2}$⑥
（3）設金屬桿A₁、A₂速度大小分別為v₁、v₂，根據動量守恒定律，mv₀₁=mv₁+mv₂，又$\frac{v_1}{v_2}=\frac{3}{1}$，所以${v_1}=\frac{3}{4}{v_{01}}$，${v_2}=\frac{1}{4}{v_{01}}$．
金屬桿A₁、A₂速度方向都向右，根據右手定則判斷知A₁、A₂產生的感應電動勢在回路中方向相反
所以感應電動勢為E=BL（v₁-v₂），電流為$I=\frac{E}{2Lr}$，安培力為F=BIL，所以 A₂受到的安培力大小為F=$\frac{{{B^2}L}}{8r}$$（{v_0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．
當然A₁受到的安培力大小也如此，只不過方向相反．
答：
（1）回路內感應電流的最大值是$\frac{{B（{v_0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）}}{4r}$．
（2）整個運動過程中感應電流最多產生的熱量是$\frac{1}{16}m$${（{v_0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）^2}$．
（3）A₂受到的安培力大小是$\frac{{{B^2}L}}{8r}$$（{v_0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．

點評 本題要注重金屬桿A₁、A₂兩桿的運動過程分析，清楚同一時刻兩桿都切割磁感線產生感應電動勢時，根據兩個感應電動勢在回路中的方向會求出電路中總的感應電動勢．