Question

17．如圖，一個(gè)質(zhì)量m=0.6kg的小球以某一初速度從P點(diǎn)水平拋出，恰好從圓弧ABC的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓�。ú挥�(jì)空氣阻力，進(jìn)入圓弧時(shí)無(wú)能量損失）．已知圓弧的半徑R=0.3m，θ=60°，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A=4m/s．（取g=10m/s²）．求：
（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₀；
（2）P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離和豎直高度；
（3）若小球到達(dá)B點(diǎn)的速度是$\sqrt{19}$m/s，則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力差是多少．（空氣阻力忽略不計(jì)，g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）恰好從光滑圓弧ABC的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧，說(shuō)明到到A點(diǎn)的速度v_A方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）平拋運(yùn)動(dòng)水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律求出P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離和豎直距離；
（3）從B到C根據(jù)動(dòng)能定理求出C點(diǎn)速度，在C點(diǎn)和B點(diǎn)，重力和彈力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律列式求出小球在最高點(diǎn)C和B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力，從而求出壓力差．

解答 解：（1）小球恰好從圓弧ABC的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
v₀=v_x=v_Acosθ=4×cos60°=2m/s 
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式，有：${v}_{y}={v}_{A}sinθ=4×sin60°=2\sqrt{3}m/s$，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：${{v}_{y}}^{2}=2gh$
v_y=gt
x=v₀t
代入數(shù)據(jù)解得h=0.6m，x=$0.4\sqrt{3}m≈0.69m$．
（3）在B點(diǎn)，由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式得：
${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：
N_B=44N
由牛頓第三定律得：小球?qū)�軌道的壓力大小N_B′=N_B=44N，
從B到C根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mg•2R$
解得：${v}_{C}=\sqrt{7}m/s$
在C點(diǎn)，由圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式得：
${N}_{C}+mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：N_C=8N，
由牛頓第三定律得：小球?qū)�軌道的壓力大�。篘_C′=N_C=8N，
則小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力差是△N=N_B′-N_C′=44-8=36N．
答：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v₀為2m/s；
（2）P點(diǎn)與A點(diǎn)的水平距離為0.69m，豎直高度為0.6m；
（3）小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)和C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力差是36N．

點(diǎn)評(píng) 本題是平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的典型題目，除了運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式外；本題第三問(wèn)中C點(diǎn)速度可以利用動(dòng)能定理求解出來(lái)．