Question

8．一商場滾梯如圖示，AB部分水平，BC部分傾斜，且L_AB=3m，L_BC=5m，傾角θ=37°，AB與BC在B點(diǎn)通過極短圓弧連接，滾梯正以速度v=2m/s的恒定速度釋放，貨箱與滾梯間的動(dòng)摩擦因素μ=0.5，g=10m/s²．不考慮貨箱在B處損失的能量（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）貨箱從A點(diǎn)第一次運(yùn)到B點(diǎn)所用的時(shí)間；
（2）貨箱第一次到B點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)具有周期性，求出它的運(yùn)動(dòng)周期；
（3）從把貨箱放在A點(diǎn)到貨箱第一次到最高點(diǎn)過程中由于傳送貨箱電機(jī)多消耗的電能．

Answer 1

分析 （1）貨箱剛放在水平傳送帶上時(shí)，對貨箱進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律求得加速度，由速度公式求出速度達(dá)到傳送帶的速度所用時(shí)間．再分析共同后運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得到總時(shí)間．
（2）貨箱在BC做先向上勻減速運(yùn)動(dòng)，后向下勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)后做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解周期．
（3）根據(jù)相對位移求出摩擦生熱，結(jié)合能量守恒定律求由于傳送貨箱電機(jī)多消耗的電能．

解答 解：（1）木箱開始勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到2m/s以后勻速運(yùn)動(dòng)到B，由牛頓第二定律得：μmg=ma₁；
代入數(shù)據(jù)得：a₁=5m/s²．
經(jīng)過時(shí)間t₁木箱速度達(dá)到2m/s，則有：
v=a₁t₁
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=0.4s
經(jīng)過t₁這段時(shí)間木箱對地位移為：s₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
解得：s₁=0.4m，小于3m
之后木箱勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)木箱勻速運(yùn)動(dòng)t₂到達(dá)B點(diǎn)，有：
L_AB-s₁=vt₂；
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=1.3s         
則木箱從A到B經(jīng)歷時(shí)間為：t=t₁+t₂=1.7s
（2）木箱以2m/s為初速度沿皮帶向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
 mgsin37°-μmgcos37°=ma₂；
代入數(shù)據(jù)解得：a₂=2m/s²
 經(jīng)過時(shí)間t₃木箱速度減為零，則有：v=a₂t₃．
代入數(shù)據(jù)解得：t₃=1s   
貨箱沿皮帶向上滑動(dòng)位移為：s₂=$\frac{v}{2}{t}_{3}$=$\frac{2}{2}$×1=1m
速度減為零以后，貨箱沿皮帶向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，受力情況與向上運(yùn)動(dòng)時(shí)相同，因此經(jīng)過t₄=t₃=1s到達(dá)B點(diǎn)．  
箱從B點(diǎn)開始又做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為：a₃=a₁=5m/s²．
經(jīng)過t₅速度減為零，有：v=a₃t₅．
解得：t₅=0.4s         
然后又開始勻加速滑向B，經(jīng)過t₆=t₅=0.4s時(shí)間運(yùn)動(dòng)到B且速度為2m/s，這樣周期運(yùn)動(dòng)下去．周期為：T=t₃+t₄+t₅+t₆=2.8s
（3）從把貨箱放在A點(diǎn)到貨箱第一次到最高點(diǎn)過程由于傳送貨箱電機(jī)多消耗的電能，等于貨箱增加的機(jī)械能和摩擦生熱之和．
機(jī)械能增加：△E=mgs₂sin37°
解得：△E=6J
摩擦生熱
水平段：Q₁=μmgs₁；
傾斜段：Q₂=μmgcos37°（vt₃-s₂）
解得 Q₁=2J，Q₂=4J
電機(jī)多消耗的電能為：E=△E+Q₁+Q₂=6+2+4=12J
答：（1）貨箱從A點(diǎn)第一次運(yùn)到B點(diǎn)所用的時(shí)間是1.7s；
（2）貨箱第一次到B點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)具有周期性，它的運(yùn)動(dòng)周期是2.8s；
（3）從把貨箱放在A點(diǎn)到貨箱第一次到最高點(diǎn)過程中由于傳送貨箱電機(jī)多消耗的電能是12J．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵分析清楚工件的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律求解出加速過程的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和功能列式研究．