Question

6．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外的長(zhǎng)為2a，寬為a的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（邊界有磁場(chǎng)），在第三象限存在于y軸正向成30°角的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從電場(chǎng)中的P點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力．
（1）若粒子從磁場(chǎng)下邊界射出，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（2）若粒子從磁場(chǎng)右邊界射出，求PO間的電勢(shì)差U_PO的范圍；
（3）若粒子從磁場(chǎng)上邊界射出，求磁場(chǎng)上邊界有粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，然后根據(jù)粒子的周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可以求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)求出粒子的軌道半徑，由牛頓第二定律列方程，解方程組可以求出OP間的電勢(shì)差；
（3）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與粒子軌道半徑，應(yīng)用幾何知識(shí)可以求出磁場(chǎng)上邊界有粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)的圓心角為θ，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{mθ}{qB}$，
從圖中幾何關(guān)系可知，β=$\frac{2}{3}$π，
所以時(shí)間為：t=$\frac{mβ}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
從磁場(chǎng)右邊界射出的最小速度的粒子，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最�。�
如圖所示，粒子從右邊界以最小速度qB射出時(shí)軌道2對(duì)應(yīng)的半徑最小，

由幾何關(guān)系可知：R₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
由牛頓第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
帶電粒子在電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理：qU_PO=$\frac{1}{2}$mv²，
聯(lián)立得：U_PO1=$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{3m}$，
如圖所示，粒子從右邊界以最大速度射出時(shí)軌道3對(duì)應(yīng)的半徑最大，
根據(jù)幾何關(guān)系可知：R₃-a=R₃sin30°，
解得：R₃=2a，
解得：U_PO2=$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{m}$，
則粒子從磁場(chǎng)右邊界射出，$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{3m}$≤U_PO≤$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{m}$；
（3）由圖中的幾何關(guān)系可知：

磁場(chǎng)上邊界粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度：
l_AB=R₃cos30°-atan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a；
答：（1）若粒子從磁場(chǎng)下邊界射出，子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）若粒子從磁場(chǎng)右邊界射出，PO間的電勢(shì)差U_PO的范圍是$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{3m}$≤U_PO≤$\frac{2q{B}^{2}{a}^{2}}{m}$；
（3）若粒子從磁場(chǎng)上邊界射出，磁場(chǎng)上邊界有粒子射出的區(qū)域的長(zhǎng)度是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律、圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可正確解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．