Question

7．如圖甲所示，一塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)=4m、質(zhì)量為M=4kg的長(zhǎng)木板靜止放置在粗糙水平地面上．另有一質(zhì)量為m=0.4kg的小鉛塊（可看做質(zhì)點(diǎn)），以v₀=5.5m/s的水平初速度向右沖上木板．己知鉛塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.4，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，重力加速度取g=10m/s²．
（1）求鉛塊最終停在木板上的位置離木板最右端的距離d₁（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；
（2）若將木板平均分割成相同的八個(gè)木塊，如圖乙所示，其它條件不變：
①求木塊開始運(yùn)動(dòng)瞬間．鉛塊的速度大小v₁以及此時(shí)木塊的加速度大小a₁；
②確定鉛塊最終停在哪一塊木塊上并求出其停在該木塊上的位置離該木塊最右端的距離d₂（計(jì)算結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)鉛塊對(duì)木板的滑動(dòng)摩擦力和地面對(duì)鉛塊的最大靜摩擦力相比，可得出木板靜止不動(dòng)，對(duì)鉛塊，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得鉛塊最終停在木板上的位置離木板最右端的距離d₁．
（2）①根據(jù)鉛塊對(duì)木板的滑動(dòng)摩擦力和地面對(duì)木板的最大靜摩力關(guān)系，分析鉛塊滑上第7塊木塊前，所有木塊靜止，滑上第7塊瞬間，第7、8塊木塊開始滑動(dòng)．對(duì)鉛塊和第7、8兩塊木塊，運(yùn)用牛頓第二定律求加速度．
②第7塊木塊作為參考，分析鉛塊相對(duì)于第7塊木塊的運(yùn)動(dòng)，由速度位移關(guān)系式列式．對(duì)第8塊木塊，由牛頓第二定律求出加速度，再第8塊木塊作為參考，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式研究鉛塊在第8塊木塊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即可求解．

解答 解：（1）因?yàn)?μ₁mg＜μ₂（m+M）g，所以鉛塊沖上木板后木板一直相對(duì)于靜止不動(dòng)．對(duì)鉛塊，由動(dòng)能定理得：
0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-μ₁mg（L-d₁）
可得：d₁=$\frac{7}{32}$m
（2）①因?yàn)?μ₂（m+$\frac{2}{8}$M）g＜μ₁mg＜μ₂（m+$\frac{3}{8}$M）g，所以鉛塊滑上第7塊木塊前，所有木塊相對(duì)于地靜止，滑上第7塊木塊瞬間，第7、8塊木塊開始運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律，對(duì)鉛塊：μ₁mg=ma₀，得a₀=4m/s²，方向向左．
對(duì)第7、8塊木塊：μ₁mg-μ₂（m+$\frac{2}{8}$M）g=$\frac{2}{8}$Ma₁，得a₁=0.2m/s²，方向向右．
鉛塊沖上第7塊木塊瞬間速度為 v₁，則
${v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{0}•\frac{6}{8}L$，得 v₁=2.5m/s
②設(shè)鉛塊滑上第8塊木塊瞬間速度為v₂，則研究鉛塊在第7塊上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，以第7塊木塊作為參考，則有：
${v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}=2（{a}_{0}+{a}_{1}）•\frac{L}{8}$
對(duì)第8塊木塊：μ₁mg-μ₂（m+$\frac{1}{8}$M）g=$\frac{1}{8}$Ma₂，得a₂=1.4m/s²，方向向右．
則鉛塊在第8塊上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，以第8塊木塊作為參考，則有：
${v}_{2}^{2}$-0=2$（{a}_{0}+{a}_{2}）•（\frac{L}{8}-kgq02og_{2}）$
解得：d₂=$\frac{67}{216}$m
答：（1）鉛塊最終停在木板上的位置離木板最右端的距離d₁是$\frac{7}{32}$m．
（2）①木塊開始運(yùn)動(dòng)瞬間．鉛塊的速度大小v₁為2.5m/s，此時(shí)木塊的加速度大小a₁是2.5m/s²，方向向右．
②鉛塊最終停在第8塊木塊上，其停在該木塊上的位置離該木塊最右端的距離d₂是$\frac{67}{216}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題分析清楚鉛塊與木塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是關(guān)鍵，要明確木塊能發(fā)生運(yùn)動(dòng)的條件：外力大于最大靜摩擦力，應(yīng)用摩擦力公式、動(dòng)能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可正確解題．