Question

17．太空中有A、B兩天體，已知天體質量M_B=2M_A，在萬有引力作用下從靜止開始相向運動，某時刻兩天體相距為L時，A的加速度為a，則經(jīng)一段時間后，B的加速度也為a，速度為v，則
（1）此時刻兩天體相距多遠？
（2）B從靜止到速度為v的過程中，引力對兩天體所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）已知物體的質量與加速度，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出兩物體間的距離．
（2）兩物體組成的系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律求出A的速度，然后應用動能定理求出萬有引力做功．

解答 解：（1）設此時刻兩天體的距離為x，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得：
G$\frac{{{M_A}{M_B}}}{L^2}$=M_Aa，
G$\frac{{{M_A}{M_B}}}{x^2}$=M_Ba，
已知：M_B=2M_A，
解得：x=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$L．
（2）設從靜止到B的速度為v時，A的速度為u，系統(tǒng)動量守恒，以B的速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
M_Bv-M_Au=0，
已知：M_B=2M_A，
解得：u=2v，
由動能定理得，引力對兩天體所做的功為：
W=$\frac{1}{2}$${M_B}{v^2}$+$\frac{1}{2}$${M_A}{u^2}$=3${M_A}{v^2}$．
答：（1）此時刻兩天體的距離為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$L；
（2）B從靜止到速度為v的過程中，引力對兩天體所做的功為：3${M_A}{v^2}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，分析清楚題意與物體的運動過程是解題的關鍵，應用萬有引力公式、牛頓第二定律與動量守恒定律、動能定理可以解題．