Question

12．如圖所示，無限長金屬導(dǎo)軌EF、PQ固定在傾角為θ=53°的光滑絕緣斜面上，軌道間距L=1m，底部接入一阻值為R=0.4Ω的定值電阻，上端開口．垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T．一質(zhì)量為m=0.5kg的金屬棒ab與導(dǎo)軌接觸良好，ab與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，ab連入導(dǎo)軌間的電阻r=0.1Ω，電路中其余電阻不計(jì)．現(xiàn)用一質(zhì)量為M=2.86kg的物體通過一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩繞過光滑的定滑輪與ab相連．由靜止釋放M，當(dāng)M下落高度h=2.0m時(shí)，ab開始勻速運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)中ab始終垂直導(dǎo)軌，并接觸良好）．不計(jì)空氣阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6，取g=10m/s²．求：
（1）ab棒沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大速度v_m；
（2）ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R和流過電阻R的總電荷量q．

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運(yùn)動(dòng)，隨著速度增大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當(dāng)加速度為零時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，速度就達(dá)到最大值．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，結(jié)合平衡條件求解最大速度．
（2）在ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)的重力勢能減小，轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)增加的動(dòng)能和焦耳熱，根據(jù)能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻R上產(chǎn)生的熱量．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式求解電量．

解答 解：
（1）由題意知，由靜止釋放M后，ab棒在繩拉力T、重力mg、安培力F和軌道支持力N及摩擦力f共同作用下做沿軌道向上做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)直至勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)，由平衡條件有：
  T-mgsinθ-F-f=0…①
  N-mgcosθ=0…②
  T=Mg…③
又由摩擦力公式得  f=μN(yùn)…④
ab所受的安培力  F=BIL…⑤
回路中感應(yīng)電流 I=$\frac{BL{v}_{m}}{R+r}$…⑥
聯(lián)解①②③④⑤⑥并代入數(shù)據(jù)得：
最大速度 v_m=3m/s…⑦
（2）由能量守恒定律知，系統(tǒng)的總能量守恒，即系統(tǒng)減少的重力勢能等于系統(tǒng)增加的動(dòng)能、焦耳熱及摩擦而轉(zhuǎn)化的內(nèi)能之和，有：
  Mgh-mghsinθ=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{m}^{2}$+Q+fh…⑧
電阻R產(chǎn)生的焦耳熱  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q…⑨
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律有：
 流過電阻R的總電荷量 q=$\overline{I}$△t…⑩
 電流的平均值 $\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$…⑪
 感應(yīng)電動(dòng)勢的平均值 $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$…⑫
磁通量的變化量△Φ=B•（Lh）…⑬
聯(lián)解⑧⑨⑩⑪⑫⑬并代入數(shù)據(jù)得：Q_R=26.3J，q=8C
答：
（1）ab棒沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大速度v_m是3m/s．
（2）ab棒從開始運(yùn)動(dòng)到勻速運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q_R是26.3J，流過電阻R的總電荷量q是8C．

點(diǎn)評(píng) 本題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系；二是推導(dǎo)感應(yīng)電荷量q的表達(dá)式，對(duì)于它們的結(jié)果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應(yīng)的問題．