Question

一個圓柱形的豎直井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的．在井中固定插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底，在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動．開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面．如圖(甲)所示．現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動．已知管筒半徑r=0.100m．井的半徑R=2r．水的密度ρ=1.00×kg/，大氣壓=1.00×Pa，求活塞上升H=9.00m的過程中拉力F所做的功．(井和管在水面以上及水面以下部分都足夠長．不計活塞質(zhì)量，不計摩擦．重力加速度g取10m/)

Answer 1

答案：16500J
解析：

解：當(dāng)活塞提升時，水面緊貼活塞一起上升．由于1個大氣壓所能支持的水柱高度為 ， 即當(dāng)管內(nèi)外水面的高度差小于10m時，管內(nèi)的水面始終緊貼活塞．當(dāng)此 高度差高于10m時，水不再上升，在活塞下方將會出現(xiàn)真空． 設(shè)活塞上升h高度時，圓管外部的水面下降的高度為，如圖(乙)所示，由于管內(nèi)外的水的體積相等，故有，則得，又當(dāng)即時，管內(nèi)外的水面高度差恰好是10m在此過程中，拉力為變力，所做功為，其大小等于管內(nèi)水的重力勢能的增加，即為，代入數(shù)據(jù)可得 =×． 在活塞從=7.5m上升到H=9.0m的過程中，拉力F是恒力，即，設(shè)拉力F做功為××3.14×．在整個過程中拉力做的功為． 此題目研究的問題是：求解拉力F對活塞所做的功；研究對象是在圓管中被提升的水柱；解題的關(guān)鍵有三點：①明確1個大氣壓所能支持的水柱高度h=10m，②圓形水管內(nèi)外上升和下降的水的體積相等，③拉力做功的效果是增加了上升的水柱的重力勢能；應(yīng)當(dāng)避免的解題錯誤是當(dāng)圓管內(nèi)外水面的高差超過10m時，水面不再隨活塞高度的變化而同步升高，拉力F由變力做功轉(zhuǎn)換為恒力做功． 在求解拉力F做功時，必須注意到當(dāng)水管內(nèi)外的高度差超過10m時，水面不再隨活塞的上升而上升，拉力F由原先的變力做功轉(zhuǎn)換為恒力做功．還要注意管的內(nèi)外水面的升和降引起的水的重力勢能的增加均是因為拉力F做功而導(dǎo)致的．