Question

利用電場和磁場，可以將比荷不同的離子分開，這種方法在化學分析和原子核技術等領域有重要的應用．如圖所示的矩形區(qū)域ACDG（AC邊足夠長）中存在垂直于紙面的勻強磁場，A處有一狹縫．離子源產生的離子，經靜電場加速后穿過狹縫沿垂直于GA邊且垂直于磁場的方向射入磁場，運動到GA邊，被相應的收集器收集．整個裝置內部為真空．已知被加速的兩種正離子的質量分別是m₁和m₂（m₁＞m₂），電荷量均為q．加速電場的電勢差為U，離子進入電場時的初速度可以忽略．不計重力，也不考慮離子間的相互作用．
（1）求質量為m₁的離子進入磁場時的速率v₁；
（2）當磁感應強度的大小為B時，求兩種離子在GA邊落點的間距s；
（3）在前面的討論中忽略了狹縫寬度的影響，實際裝置中狹縫具有一定寬度．若狹縫過寬，可能使兩束離子在GA邊上的落點區(qū)域交疊，導致兩種離子無法完全分離．設磁感應強度大小可調，GA邊長為定值L，狹縫寬度為d，狹縫右邊緣在A處．離子可以從狹縫各處射入磁場，入射方向仍垂直于GA邊且垂直于磁場．為保證上述兩種離子能落在GA邊上并被完全分離，求狹縫的最大寬度．

Answer 1

【答案】分析：（1）離子在電場中做加速運動，電場能轉化為動能，由能量的轉化和守恒即可求出離子進入磁場時的速度．
（2）離子在勻強磁場中將做勻速圓周運動，此時向心力提供洛倫茲力，由帶電離子在磁場中運動的半徑公式可分別求出質量為m₁、m₂的粒子的軌跡半徑，兩個軌跡的直徑之差就是離子在GA邊落點的間距．
（3）由題意畫出草圖，通過圖找出兩個軌跡因寬度為d狹縫的影響，從而應用幾何知識找出各量的關系，列式求解．
解答：解：
（1）動能定理  
得：…①
（2）由牛頓第二定律和軌道半徑有：
 
利用①式得離子在磁場中的軌道半徑為別為（如圖一所示）：
 ，…②
兩種離子在GA上落點的間距…③
（3）質量為m₁的離子，在GA邊上的落點都在其入射點左側2R₁處，由于狹縫的寬度為d，因此落點區(qū)域的寬度也是d（如圖二中的細線所示）．同理，質量為m₂的離子在GA邊上落點區(qū)域的寬度也是d（如圖二中的粗線所示）．為保證兩種離子能完全分離，兩個區(qū)域應無交疊，條件為2（R₁-R₂）＞d…④
利用②式，代入④式得：
R₁的最大值滿足：
2R_1m=L-d
得：
求得最大值：．
點評：此題考查帶電粒子在有界電場中運動的問題，類似質譜儀，解題方式和磁場中運動相似，確定圓心，軌跡和半徑，整體上難度較低．