Question

11．過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施．下圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12m/s 的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，力加速度g=10m/s²．試求：

（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；
（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與D點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 對(duì)小球的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析．
運(yùn)用動(dòng)能定理求出小球經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度，再對(duì)小球在第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，并利用牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球作用力．
知道小球恰能通過圓形軌道的含義，并能找出在第二圓形軌道的最高點(diǎn)速度．運(yùn)用動(dòng)能定理研究某一運(yùn)動(dòng)過程求出B、C間距L．
知道要使小球不能脫離軌道的含義：1、小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，2、軌道半徑較大時(shí)，小球不能通過第三個(gè)圓軌道，但是還要不能脫離軌道，那么小球上升的高度就不能超過R₃
應(yīng)用動(dòng)能定理研究整個(gè)過程求出兩種情況下的問題

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀² …①
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律有：
F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$…②
由①②解得：F=10.0 N…③
（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，由小球恰能通過第二圓形軌道有：mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$…④
由動(dòng)能定理得：-μmg（L₁+L）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑤
由④⑤解得：L=12.5m…⑥
（3）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：
 I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v₃，應(yīng)滿足：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$…⑦
由動(dòng)能定理得：-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑧
由 ⑥⑦⑧解得：R₃=0.4m；
II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動(dòng)能定理有：
-μmg（L₁+2L）-mgR₃=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：R₃=1.0m，
綜上所述可知，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件：0＜R₃≤0.4m或 1.0m≤R₃，
小球最終停留點(diǎn)與起始點(diǎn)D的距離為：L′=5m；
答：（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大小為10N，方向豎直向下；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是12.5m；
（3）在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R₃應(yīng)滿足的條件是：：0＜R₃≤0.4m或 1.0m≤R₃，小球最終停留點(diǎn)與D點(diǎn)的距離為5m．

點(diǎn)評(píng) 本題為力學(xué)綜合題，要注意正確選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．