Question

13．據(jù)《每日郵報》2015年4月27日報道，英國威爾士一只100歲的寵物龜“T夫人”（Mrs T）在冬眠的時候被老鼠咬掉了兩只前腿．“T夫人”的主人為它裝上了一對從飛機(jī)模型上拆下來的輪胎．現(xiàn)在它不僅又能走路，甚至還能“跑步”了，現(xiàn)在的速度比原來快一倍．如圖2所示，設(shè)“T夫人”質(zhì)量m=1.0kg在粗糙水平臺階上靜止，它與水平臺階表面的阻力簡化為與體重的k倍，k=0.25，且與臺階邊緣O點(diǎn)的距離s=5m．在臺階右側(cè)固定了一個$\frac{1}{4}$圓弧擋板，圓弧半徑R=5$\sqrt{2}$m，今以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．“T夫人”通過后腿蹬地可提供F=5N的水平恒力，已知重力加速度g=10m/s²．
（1）“T夫人”為了恰好能停在O點(diǎn)，蹬地總距離為多少？
（2）“T夫人”為了恰好能停在O點(diǎn)，求運(yùn)動最短時間；
（3）若“T夫人”在水平臺階上運(yùn)動時，持續(xù)蹬地，過O點(diǎn)時停止蹬地，求“T夫人”擊中擋板上的位置的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）“T夫人”在水平表面運(yùn)動過程中，根據(jù)動能定理求蹬地總距離．
（2）“T夫人”先加速后減速，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移時間公式和速度公式結(jié)合解答．
（3）若“T夫人”在水平臺階上運(yùn)動時，持續(xù)蹬地，由動能定理求出“T夫人”離開平臺時的速度，“T夫人”離開平臺后做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律和幾何知識結(jié)合解答．

解答 解：（1）在水平表面運(yùn)動過程中，根據(jù)動能定理得：Fx-kmgs=0        
可得：x=2.5m
（2）在加速運(yùn)動中，根據(jù)牛頓第二定律得：F-kmg=ma₁，
可得：a₁=2.5m/s²；            
由x=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$可求得：t₁=$\sqrt{2}$s
而加速運(yùn)動中最大速度：v=a₁t₁=2.5$\sqrt{2}$m/s
在減速運(yùn)動中，有 kmg=ma₂，a₂=kg=2.5m/s²；             
由v=a₂t₂得 t₂=$\sqrt{2}$s
則T夫人在臺階表面運(yùn)動的總時間：t=t₁+t₂=2$\sqrt{2}$s
（3）若在臺階表面一直施力，根據(jù)動能定理得：Fs-kmgs=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得：v=5m/s
離開臺階后做平拋運(yùn)動，有：x=vt=5t
y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
根據(jù)幾何關(guān)系得：x²+y²=R²=50
解得：x=5m，y=5m
即“T夫人”擊中擋板上的位置的坐標(biāo)為（5m，5m）
答：（1）“T夫人”為了恰好能停在O點(diǎn)，蹬地總距離為2.5m．
（2）“T夫人”為了恰好能停在O點(diǎn)，運(yùn)動最短時間是2$\sqrt{2}$s．
（3）“T夫人”擊中擋板上的位置的坐標(biāo)為（5m，5m）．

點(diǎn)評 本題綜合了動能定理和平拋運(yùn)動知識，要靈活選擇研究的過程，要掌握平拋運(yùn)動在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，并能把握兩個方向位移大小的關(guān)系．