Question

4．如圖所示，豎直放置的半圓形光滑絕緣軌道半徑為R=0.2m，圓心為O，下端與絕緣水平軌道在B點(diǎn)相切并平滑連接，一帶正電q=5.0×10^-3C、質(zhì)量為m=3.0kg的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），置于水平軌道上的A點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)=1.0m，物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，重力加速度g=10m/s²．
（1）若物塊在A點(diǎn)以初速度v₀向左運(yùn)動(dòng)，恰好能到達(dá)圓周的最高點(diǎn)D，則物塊的初速度v₀應(yīng)為多大？
（2）若整個(gè)裝置處于方向水平向左、場(chǎng)強(qiáng)大小為E=2.0×10³N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)中（圖中未畫(huà)出），現(xiàn)將物塊從A點(diǎn)由靜止釋放，試確定物塊在以后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度最大時(shí)的位置（結(jié)果可用三角函數(shù)表示）；
（3）在（2）問(wèn)的情景中，試求物塊在水平面上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能到達(dá)圓周的最高點(diǎn)D，在D點(diǎn)重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解D點(diǎn)的速度；再對(duì)從A到D過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解初速度．
（2）假設(shè)物塊能到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，再分析速度最大的位置．
（3）分析電場(chǎng)力和摩擦力的關(guān)系，從而確定小滑塊的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)全過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求總路程．

解答 解：（2）物塊恰好能到達(dá)圓周的最高點(diǎn)D，故有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
對(duì)A到D過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：-mg（2R）-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：v₀=$\sqrt{14}$m/s
（2）對(duì)物塊，假設(shè)物塊能滑到C點(diǎn)，從A至C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
qE（L+R）-mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
可得 v_C=0，故物塊始終沒(méi)有脫離軌道
對(duì)物塊受力分析，可知 tanθ=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{1}{3}$
故物塊在以后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度最大時(shí)位于B點(diǎn)左側(cè)圓弧上，其與圓心的連線與OB的夾角為θ，且θ=arctan$\frac{1}{3}$
（3）由于電場(chǎng)力F_電＞摩擦力F_f，小物塊將在圓弧形的光滑軌道和水平軌道上多次往返后，最終在圓弧軌道上的B點(diǎn)和某高度間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)速度為零，對(duì)物塊，由釋放至B點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
qEL-μmgs=0-0
解得總路程為：s=$\frac{5}{3}$m≈1.67m
答：（1）物塊的初速度v₀應(yīng)為$\sqrt{14}$m/s．
（2）物塊在以后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度最大時(shí)的位置在圓弧上與圓心的連線與OB的夾角為θ=arctan$\frac{1}{3}$．
（3）物塊在水平面上運(yùn)動(dòng)的總路程是1.67m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要知道物體恰好到最高點(diǎn)的臨界條件是最高點(diǎn)重力提供向心力，分段運(yùn)用動(dòng)能定理解答．