Question

如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R=10

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cm的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個水平方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.10T，方向垂直紙面向外．豎直平行放置的兩金屬板A、K相距為d=20

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mm，連在如圖所示的電路中．電源電動勢E=91V，內(nèi)阻r=1.0Ω，定值電阻R₁=10Ω，滑動變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩個小孔，且S₁、S₂跟O在豎直極板的同一直線上，OS₂=2R，另有一水平放置的足夠長的熒光屏D，O點(diǎn)跟熒光屏D點(diǎn)之間的距離為H=2R．比荷為2.0×10⁵C/kg的正離子流由S₁進(jìn)入電場后，通過S₂向磁場中心射去，通過磁場后落到熒光屏D上．離子進(jìn)入電場的初速度、重力、離子之間的作用力均可忽略不計(jì)．
問：（1）請分段描述正離子自S₁到熒光屏D的運(yùn)動情況．
（2）如果正離子垂直打在熒光屏上，電壓表的示數(shù)多大？
（3）調(diào)節(jié)滑動變阻器滑片P的位置，正離子到達(dá)熒光屏的最大范圍多大？

Answer 1

（1）正離子在兩金屬板間受到電場力而作勻加速直線運(yùn)動，離開電場后做勻速直線運(yùn)動，進(jìn)入磁場后受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動，離開磁場后，離子又做勻速直線運(yùn)動，直到打在熒光屏上．
（2）設(shè)離子由電場射出后進(jìn)入磁場時的速度為v．因離子是沿圓心O的方向射入磁場，由對稱性可知，離子射出磁場時的速度方向的反向延長線也必過圓心O．離開磁場后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點(diǎn)），則離子在磁場中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，由幾何知識可知，離子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑
r′=R=10

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cm①
設(shè)離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，進(jìn)入磁場時的速度為v有
由qvB=m

v2

r′

得r′=

mv

qB

②
設(shè)兩金屬板間的電壓為U，離子在電場中加速，由動能定理有：
qU=

1

2

mv2③
而

q

m

=2×105C/kg ④
由②③兩式可得U=

B2r′2q

2m

⑤
代入有關(guān)數(shù)值可得U=30V，也就是電壓表示數(shù)為30V．
（3）因兩金屬板間的電壓越小，離子經(jīng)電場后獲得的速度也越小，離子在磁場中作圓周運(yùn)動的半徑越小，射出電場時的偏轉(zhuǎn)角越大，也就越可能射向熒光屏的左側(cè)．
由閉合電路歐姆定律有，I=

E

R1+R2+r

=1A．
當(dāng)滑動片P處于最右端時，兩金屬板間電壓最大，為U_max=I（R₁+R₂）=90V
當(dāng)滑動片P處于最左端時，兩金屬板間電壓最小，為U_min=IR₁=10V
兩板間電壓為U_min=10V時，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最左端點(diǎn)，由②③可解得離子射出電場后的速度大小為v₁=2×10³m/s，離子在磁場中做圓運(yùn)動的半徑為r₁=0.1m．
此時粒子進(jìn)入磁場后的徑跡如圖答2所示，O₁為徑跡圓的圓心，A點(diǎn)為離子能射到熒光屏的最左端點(diǎn)．由幾何知識可得：
tan

α

2

=

r1

R

=

3

3

，所以α=60°
所以AO′=Htan（90°-α）=2×10

3

×

3

3

cm=20cm
而兩板間電壓為U_max=90V時，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最右端點(diǎn)，此時粒子進(jìn)入磁場后的徑跡如圖答3所示，
同理由②③可解得離子射出電場后的速度大小為v₁=6×10³m/s，離子在磁場中做圓運(yùn)動的半徑為r₁=0.3m，或直接由⑤式求得r₂=0.3m
由幾何知識可得tan

β

2

=

r2

R

=

3

即β=120°
所以O(shè)′B=Htan（β-90°）=2×10

3

×

3

3

cm=20cm
離子到達(dá)熒光屏上的范圍為以O(shè)′為中點(diǎn)的左右兩側(cè)20cm．
答：（1）正離子自S₁到熒光屏D的運(yùn)動情況是正離子在兩金屬板間作勻加速直線運(yùn)動，離開電場后做勻速直線運(yùn)動，進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，離開磁場后，離子又做勻速直線運(yùn)動，直到打在熒光屏上．
（2）如果正離子垂直打在熒光屏上，電壓表的示數(shù)30V．
（3）調(diào)節(jié)滑動變阻器滑片P的位置，正離子到達(dá)熒光屏的最大范圍是以O(shè)′為中點(diǎn)的左右兩側(cè)20cm．