Question

如圖甲所示，水平天花板下懸掛一光滑的輕質(zhì)的定滑輪，跨過定滑輪的質(zhì)量不計的繩（繩承受拉力足夠大）兩端分別連接物塊A和B，A的質(zhì)量為m₀，B的質(zhì)量m是可以變化的，當B的質(zhì)量改變時，可以得到A加速度變化圖線如圖乙所示，不計空氣阻力和所有的摩擦，A加速度向上為正．
（1）求圖乙中a₁、a₂和m₁的大�。�
（2）根據(jù)牛頓定律和運動學(xué)規(guī)律，證明在A和B未著地或與滑輪接觸時，AB系統(tǒng)機械能守恒．
（3）若m₀=0.8kg，m=1.2kg，AB開始都在離水平地面H=0.5m處，由靜止釋放AB，且B著地后不反彈，求A上升離水平地面的最大高度．（g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，采用隔離法分別研究A和B，得到加速度與兩物體質(zhì)量的關(guān)系式，由圖象上讀出m→∞和兩坐標軸的截距，求出a₁、a₂和m₁的大�。�
（2）根據(jù)運動學(xué)公式得出速度與高度的關(guān)系，通過變形證明系統(tǒng)的機械能守恒．
（3）將m₀=0.8kg，m=1.2kg代入加速度的表達式，求出加速度，由運動學(xué)公式求出B著地時A的速度．B著地后A做豎直上拋運動，再由運動學(xué)公式求出A上升的最大高度．

解答：解；（1）根據(jù)牛頓第二定律得
   對B：mg-F=ma
   對A：F-m₀g=m₀a
得a=

m-m0

m+m0

g
當m→∞時　a₁=g；
當m=0時　a₂=-g；
當a=0時　m=m₁=m₀
（2）設(shè)A開始離水平面h₁，B開始離水平面h₂，由靜止釋放A上升到高度h₁′，B下降到高度h₂′，則
  h₁′-h₁=h₂-h₂′=h
設(shè)AB發(fā)生h位移時速度為v，則有
v²=2ah
將a=

m-m0

m+m0

g代入得
  v²=2

m-m0

m+m0

gh
變形得
 

1

2

（m+m₀）v²=mg（h₂-h₂′）-m₀g（h₁′-h₁）
得

1

2

m₀v²+m₀gh₁′+

1

2

mv²+mgh₂′=m₀gh₁+mgh₂
故A、B系統(tǒng)的機械能守恒．
（3）從H=0.5m高處釋放，AB加速度
a=

m-m0

m+m0

g=2m/s²
B著地時A的速度為　v=

2aH

=

2

m/s
接著A做豎直上拋運動，上升的高度為h=

v2

2g

=0.1m
所以A距離水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
答：
（1）圖乙中a₁=g，a₂=-g，m₁=m₀．
（2）AB系統(tǒng)的機械能守恒證明見上．
（3）A上升離水平地面的最大高度是1.1m．

點評：本題考查了運用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力．證明題要規(guī)范，步驟要完整，要有必要的假設(shè)．