Question

13．如圖所示，木塊的質(zhì)量為M，系在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩的一端，輕繩另一端系在水平軸上，木塊的尺寸遠(yuǎn)小于繩長(zhǎng)．質(zhì)量為m的子彈，以v₀的水平速度射入木塊，其作用時(shí)間極短并停留在木塊中．現(xiàn)要求木塊運(yùn)動(dòng)后繩子始終不松弛．求子彈的初速度應(yīng)該滿足怎樣的條件？

Answer 1

分析 要使木塊運(yùn)動(dòng)后繩子始終不松弛，木塊的運(yùn)動(dòng)有兩種情況：一是木塊的速度較大，能做完整圓周運(yùn)動(dòng)，二是木塊的速度較小時(shí)做不完整圓周運(yùn)動(dòng)，不過(guò)圓心等高處．根據(jù)牛頓第二定律求出在最高點(diǎn)的最小速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出子彈與木球在最低點(diǎn)的最小速度，最后通過(guò)動(dòng)量守恒定律求出木塊做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)子彈的最小初速度．由機(jī)械能守恒定律求得木塊做不完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)子彈的最大速度，從而得到子彈初速度的范圍．

解答 解：子彈擊中木塊時(shí)，取水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v
得：v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
下面分兩種情況：
（1）木塊不過(guò)圓心等高處．由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$（m+M）v²≤（m+M）gL    
解得：v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$
（2）木塊能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$（m+M）v²=2（m+M）gL+$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²
在最高點(diǎn)時(shí)，有：（m+M）$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$≥（m+M）g
聯(lián)立解得：v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$
所以要求木塊運(yùn)動(dòng)后繩子始終不松弛，子彈的初速度應(yīng)該滿足的條件是v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$．
答：要求木塊運(yùn)動(dòng)后繩子始終不松弛，子彈的初速度應(yīng)該滿足的條件是v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握隱含的臨界情況，要分兩種情況進(jìn)行討論，不能漏解．