Question

7．如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R（R為地球半徑）．則a與b的線速度大小之比、a與b的周期之比、a與b的角速度大小之比、a與b的向心加速度大小之比分別是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力列式，表示出線速度、周期、角速度、向心加速度，再求解各量的比例關(guān)系．

解答 解：人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬有引力提供向心力，則有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=mω²r=ma
得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
a與b的軌道半徑之比為：r_a：r_b=（R+R）：（R+2R）=2：3，代入上式可得：
a與b的線速度大小之比 v_a：v_b=$\sqrt{6}$：2
a與b的周期之比 T_a：T_b=2$\sqrt{6}$：9
a與b的角速度大小之比ω_a：ω_b=9：2$\sqrt{6}$
a與b的向心加速度大小之比 a_a：a_b=9：4
答：a與b的線速度大小之比為$\sqrt{6}$：2，a與b的周期之比為2$\sqrt{6}$：9，a與b的角速度大小之比為9：2$\sqrt{6}$，a與b的向心加速度大小之比是9：4．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要建立模型，明確衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源：地球的萬有引力，能靈活選擇公式的形式．