Question

3．如圖所示，光滑的長直金屬桿上套兩個小金屬環(huán)a和b，a和b與形狀為一個完整正弦曲線的剛性金屬導(dǎo)線焊接，導(dǎo)線的其余部分未與桿接觸，且a和b始終與金屬桿接觸良好．桿電阻不計，導(dǎo)線電阻為R，a、b間距離為2L，正弦曲線頂部和底部到桿距離都為d．有界勻強(qiáng)磁場區(qū)域的寬度為L，磁場方向垂直于導(dǎo)線所在平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．導(dǎo)線在外力F作用下沿桿以恒定的速度v向右運(yùn)動，t=0時刻導(dǎo)線從磁場左邊界上的O點進(jìn)入磁場，導(dǎo)線從左邊界進(jìn)入磁場直到全部離開磁場的過程中
（1）若規(guī)定金屬桿中通過的電流i從a到b為正方向，寫出電流i隨時間t的變化關(guān)系，并畫出i-t圖象；
（2）求上述過程中外力F所做的功．

Answer 1

分析 （1）由楞次定律得到電流方向，根據(jù)幾何關(guān)系得到切割磁感線的有效長度，進(jìn)而得到電動勢，由歐姆定律即可求得電流；
（2）由能量守恒定律得到外力做的功即產(chǎn)生的焦耳熱，再根據(jù)交變電流的焦耳熱求解公式得到導(dǎo)線運(yùn)動過程產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）當(dāng)$0≤t≤\frac{L}{v}$時，導(dǎo)線切割磁感線的有效長度$l=dsin\frac{πvt}{L}$，故產(chǎn)生的電動勢$E=Blv=Bdvsin\frac{πvt}{L}$，所以，電流$i=\frac{E}{R}=\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；由楞次定律可知電流方向為正；
當(dāng)$\frac{L}{v}＜t≤\frac{2L}{v}$時，導(dǎo)線在磁場左右邊界切割磁感線產(chǎn)生電動勢，導(dǎo)線切割磁感線在磁場右邊界的有效長度${l}_{1}=|dsin\frac{π（vt-L）}{L}|=dsin\frac{πvt}{L}$，導(dǎo)線切割磁感線在磁場左邊界的有效長度${l}_{2}=dsin\frac{πvt}{L}$，那么，由楞次定律可知，兩部分電動勢產(chǎn)生的電流方向都為負(fù)，故$i=-\frac{B{l}_{1}v}{R}-\frac{B{l}_{2}v}{R}=-\frac{2Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；
當(dāng)$\frac{2L}{v}＜t≤\frac{3L}{v}$時，導(dǎo)線切割磁感線的有效長度$l′={l}_{1}=dsin\frac{πvt}{L}$，由楞次定律可知電流方向為正；所以$i=\frac{Bl′v}{R}=\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；
所以，i-t圖象如圖所示，；
（2）由能量守恒可得：此過程中外力F做的功等于回路產(chǎn)生的焦耳熱．根據(jù)有效值的定義，有：
${W}_{F}={\overline{I}}^{2}Rt=\frac{1}{2}{{I}_{m}}^{2}Rt$=$\frac{1}{2}×（\frac{Bdv}{R}）^{2}×R×\frac{L}{v}+\frac{1}{2}×（\frac{2Bdv}{R}）^{2}×R×\frac{L}{v}+\frac{1}{2}×（\frac{Bdv}{R}）^{2}×R×\frac{L}{v}$=$\frac{{3B}^{2}fc6zsxb^{2}vL}{R}$；
答：（1）若規(guī)定金屬桿中通過的電流i從a到b為正方向，則電流i隨時間t的變化關(guān)系：當(dāng)$0≤t≤\frac{L}{v}$時為$\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；當(dāng)$\frac{L}{v}＜t≤\frac{2L}{v}$時為$-\frac{2Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；當(dāng)$\frac{2L}{v}＜t≤\frac{3L}{v}$時為$\frac{Bdv}{R}sin\frac{πvt}{L}$；
（2）上述過程中外力F所做的功為$\frac{3{B}^{2}wun405z^{2}vL}{R}$．

點評 在閉合電路切割磁感線的問題中，我們通常根據(jù)閉合電路的運(yùn)動，由楞次定律判斷電流方向；再求解電動勢，然后由閉合電路的歐姆定律求得電流大小．