Question

12．如圖所示，傾角為θ的足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)軌固定在水平面上，兩根完全相同的導(dǎo)體棒M、N垂直導(dǎo)軌放置，導(dǎo)體棒的長(zhǎng)度與導(dǎo)軌之間的距離相等，開(kāi)始時(shí)兩導(dǎo)體棒靜止在導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置置于垂直導(dǎo)軌平面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．已知每根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m、長(zhǎng)度均為d、阻值均為r，導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)，兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=tanθ．現(xiàn)給導(dǎo)體棒M一沿導(dǎo)軌平面向下的初速度v₀，整個(gè)過(guò)程兩導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌保持良好的接觸．求：
（1）整個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體棒N中產(chǎn)生的熱量的最大值．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒M的速度為$\frac{3}{4}$v₀時(shí)，導(dǎo)體棒N的加速度大小．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)兩導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)N產(chǎn)生的熱量最多，兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出棒的最終速度，系統(tǒng)減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為焦耳熱，然后求出N中產(chǎn)生的熱量．
（2）由動(dòng)量守恒定律求出N的速度，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，由牛頓第二定律求出加速度大�。�

解答 解：由題意可知：μ=tanθ，則：mgsinθ=μmgcosθ，導(dǎo)體棒受到的：重力、導(dǎo)體的支持力與滑動(dòng)摩擦力之和為零，則導(dǎo)體棒受到的合外力為安培力；
（1）兩導(dǎo)體棒受到的安培力等大反向，則兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
開(kāi)始，導(dǎo)體棒M向下做加速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒N向下做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者速度相等后一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生熱量最多，以沿導(dǎo)軌向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（m+m）v，
系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$•2mv²
導(dǎo)體棒N產(chǎn)生的熱量的最大值：Q_N=$\frac{1}{2}$Q
解得：Q_N=$\frac{1}{8}$mv₀²；
（2）兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=m×$\frac{3}{4}$v₀+mv_N
解得：v_N=$\frac{1}{4}$v₀，
電路產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：I=$\frac{{E}_{M}-{E}_{N}}{2r}$=$\frac{Bd（\frac{3}{4}{v}_{0}-\frac{1}{4}{v}_{0}）}{2r}$=$\frac{Bd{v}_{0}}{4r}$，
對(duì)導(dǎo)體棒N，由牛頓第二定律得：BId=ma
解得：a=$\frac{{B}^{2}l155d7t^{2}{v}_{0}}{4mr}$；
答：（1）整個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體棒N中產(chǎn)生的熱量的最大值為$\frac{1}{8}$mv₀²．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒M的速度為$\frac{3}{4}$v₀時(shí)，導(dǎo)體棒N的加速度大小為$\frac{{B}^{2}f91r53v^{2}{v}_{0}}{4mr}$．

點(diǎn)評(píng) 知道導(dǎo)體棒受到的合外力為安培力，知道兩導(dǎo)體棒組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒是解題的關(guān)鍵，分析清楚導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律、安培力公式等知識(shí)即可解題．