Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系中，第Ⅲ象限內(nèi)有場強為E，方向沿x正向的勻強電場，第Ⅱ、Ⅳ象限內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面向內(nèi)、強度相等的勻強磁場，第 I象限無電、磁場．質(zhì)量為 m、電量為q的帶正電粒子，自x軸上的P點以速度v₀垂直電場射入電場中，不計粒子重力和空氣阻力，PO之間距離為

mv02

2qE

（1）求粒子從電場射入磁場時速度的大小和方向．
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁場直接回到第Ⅲ象限的電場中，則磁感應(yīng)強度大小應(yīng)滿足什么條件？
（3）若磁感應(yīng)強度B=

2E

v0

，則粒子從P點出發(fā)到第一次回到第Ⅲ象限的電場區(qū)域所經(jīng)歷的時間是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子射入電場后做類平拋運動，電場力做功為qEL_OP，根據(jù)動能定理求出粒子離開電場時的速度大小，由速度的分解求出速度與y軸負(fù)方向的夾角；
（2）粒子進(jìn)入第Ⅳ象限的磁場由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動．粒子由第Ⅳ象限的磁場直接回到第Ⅲ象限的電場中，其運動軌跡恰好與x軸相切時，半徑最大，對應(yīng)的磁感應(yīng)強度最�。�畫出粒子的運動軌跡，由類平拋運動的規(guī)律求出OA長度，由幾何知識求出磁場中半徑的最大值，由半徑公式求出磁感應(yīng)強度的最小值．即可得到磁感應(yīng)強度大小應(yīng)滿足的條件．
（3）若磁感應(yīng)強度B=

2E

v0

，粒子先在第Ⅳ象限的磁場中做勻速圓周運動，后在第Ⅰ象限無場中做勻速直線運動，進(jìn)入第Ⅱ磁場中也做勻速圓周運動．
由半徑公式求出粒子在第Ⅳ象限的磁場中軌跡半徑，由幾何關(guān)系畫出運動軌跡．先根據(jù)類平拋運動的規(guī)律，求出電場中運動時間，根據(jù)軌跡的圓心角求出在磁場運動時間，由幾何知識求出無場區(qū)通過的位移x，由公式t=

x

v

求出通過無場區(qū)的時間，即可求得總時間．

解答：解：（1）設(shè)粒子射入磁場時射入點為A，速度大小為v，與y軸負(fù)方向夾角θ
粒子在電場中做類平拋運動時，由動能定理
   qEL_OP=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解出 v=

2

v0
與y軸負(fù)向夾角sinθ=

v0

v

=

2

2

，θ=45°
（2）若帶電粒子恰好直接回到電場中，粒子運動軌跡如圖中虛線所示，
粒子在電場中運動時：
Y方向：L_OA=v₀t
X方向：L_OP=

1

2

v_xt，
由（1）問可知，v_x=v₀，
由以上三式得：L_OA=2L_OP=2?

mv02

2qE

=

m v 2 0

qE

粒子在第Ⅳ象限磁場中，由幾何關(guān)系得：
  R+Rsinθ=L_OA 
解得  R=

(2- 2 )m v 2 0

qE

而R=

mv

qB

=

2 mv0

qB

            
解得 B=（

2

+1） 

E

v0

所以 B≥（

2

+1）

E

v0

（3）當(dāng)磁感應(yīng)強度B=

2E

v0

時，在磁場中運動半徑為R′=

mv

qB

=

2 m v 2 0

2qE

=

2

LOP
由幾何關(guān)系得粒子在磁場中的軌跡為半圓，粒子運動軌跡如圖中實線所示
粒子在電場中運動時間：t₁=

LOA

v0

=

mv0

qE

在磁場中運動時間：t₂=

T

2

=

πm

qB

=

πm

q? 2E v0

=

πmv0

2qE

無場區(qū)運動時間：t₃=

2R′

v

=

2 2 LOP

2 v0

=

mv0

qE

故總時間為：t=t₁+2t₂+t₃=（2+π）

mv0

qE

答：
（1）粒子從電場射入磁場時速度的大小是

2

v0，方向與y軸負(fù)向夾角為θ=45°．
（2）若粒子由第Ⅳ象限的磁場直接回到第Ⅲ象限的電場中，磁感應(yīng)強度大小應(yīng)滿足的條件是B≥（

2

+1）

E

v0

．
（3）若磁感應(yīng)強度B=

2E

v0

，粒子從P點出發(fā)到第一次回到第Ⅲ象限的電場區(qū)域所經(jīng)歷的時間是（2+π）

mv0

qE

．

點評：本題的解題關(guān)鍵是：在電場中，運用動能定理和類平拋運動的規(guī)律求速度v和x軸方向的位移；在磁場中畫軌跡，運用幾何知識求軌跡半徑．