Question

17．宇宙中存在一些由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，有兩種穩(wěn)定的運動形式：第一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星以第三星O₁為圓心做半徑均為R的勻速圓周運動，如圖1所示，第二種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點A、B、C上，均以△ABC的中心O₂為圓心，以O₂A長為半徑做勻速圓周運動，如圖2所示，設每個星體的質量均為m，引力常量為G，不考慮其他天體對三星的作用．
（1）求第一種形式下，運動星體的速率v和角速度ω；
（2）假設兩種形式下運動星體的速率相同，求第二種形式下星體之間的距離L．

Answer 1

分析 兩種形式行星均靠其它兩顆行星的對它萬有引力的合力提供向心力，做勻速圓周運動．

解答 解：（1）第一種形式三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行，軌道半徑為R
向心力${F}_{1}^{\;}$=$G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{m}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{5}{4}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}=m{ω}_{\;}^{2}R$
解得：$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
$ω=\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}_{\;}^{3}}}$
（2）第二種形式軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，$r=\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$
所需的向心力${F}_{2}^{\;}=2G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}cos30°=\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
根據(jù)題意知兩種形式的速率相等，即$v=\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$
聯(lián)立解得$L=\frac{4}{5}R$
答：（1）求第一種形式下，運動星體的速率v為$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$和角速度ω為$\sqrt{\frac{5Gm}{4{R}_{\;}^{3}}}$；
（2）假設兩種形式下運動星體的速率相同，第二種形式下星體之間的距離L為$\frac{4}{5}R$

點評 解決本題的關鍵知道行星做圓周運動向心力的來源，以及會通過幾何關系求出做圓周運動的軌道半徑．