Question

9．如圖所示．一束截面為圓形，半徑R=0.2m的平行光垂直射向一玻璃半球的平面．經(jīng)折射后在屏幕S上形成一個圓形亮區(qū)．已知玻璃半球的半徑為R=0.2m．屏幕S至球心的距離為D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m．不考慮光的干涉和衍射，試問：
（i）若入射光是白光，在屏幕S上形成的圓形亮區(qū)的最外側(cè)是什么顏色
（ii）若入射光是紫光，玻璃半球?qū)ψ瞎獾恼凵渎蕿閚=$\sqrt{3}$．求屏幕上圓形亮區(qū)的面積．

Answer 1

分析 （i）當(dāng)光線從空氣垂直射入半圓玻璃磚，光線不發(fā)生改變，當(dāng)入射角小于臨界角時，光線才能再從玻璃磚射出，所以平行白光中的折射率不同，導(dǎo)致臨界角不同，因此偏折程度不同，從而確定圓形亮區(qū)的最外側(cè)的顏色．
（ii）光線沿直線從O點(diǎn)穿過玻璃，方向不變．從A點(diǎn)射出玻璃磚的光線方向向左偏折，射到屏幕S上圓形亮區(qū)，作出光路圖，由光的折射定律結(jié)合數(shù)學(xué)幾何知識求出圓形亮區(qū)的半徑，從而求得屏幕上圓形亮區(qū)的面積．

解答 解：（i）復(fù)色光與半球形玻璃面的下表面相垂直，方向不變，但是在上面的圓弧面會發(fā)生偏折，紫光的折射率最大，所以紫光偏折的最多，且屏上相應(yīng)的光點(diǎn)與入射光線在玻璃半球的對稱軸兩側(cè)，因此最外側(cè)是紫色．
（ii）如圖所示．紫光剛要發(fā)生全反射時的臨界光線射在屏幕S上的點(diǎn)D到亮區(qū)中心E的距離r就是所求最大半徑．

設(shè)紫光臨界角為C．由全反射的知識：sinC=$\frac{1}{n}$             
所以cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
根據(jù)幾何關(guān)系得 OB=$\frac{R}{cosC}$=$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$
屏幕上圓形亮區(qū)的半徑 r=$\frac{D-OB}{tanC}$=D$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR
代入數(shù)據(jù)解得 r=$\frac{5-\sqrt{3}}{5}$m              
所以屏幕上圓形亮區(qū)的面積 S=πr²=$\frac{28-10\sqrt{3}}{25}$π（m²）
答：
（i）最外側(cè)是紫色．
（ii）屏幕上圓形亮區(qū)的面積是$\frac{28-10\sqrt{3}}{25}$π（m²）．

點(diǎn)評 本題考查光的折射．關(guān)鍵是作出光路圖，根據(jù)幾何知識求出入射角與折射角，知道折射率和臨界角的關(guān)系，了解各種色光的波長和折射率的關(guān)系．