Question

5．如圖，相鄰兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B₁、B₂．已知：磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相反且垂直紙面；兩個(gè)區(qū)域的寬度都為d；質(zhì)量為m、電量為+q的粒子由靜止開(kāi)始經(jīng)電壓恒為U的電場(chǎng)加速后，垂直于區(qū)域Ⅰ的邊界線MN，從A點(diǎn)進(jìn)入并穿越區(qū)域Ⅰ后進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，最后恰好不能從邊界線PQ穿出區(qū)域Ⅱ．不計(jì)粒子重力．求
（1）B₁的取值范圍；
（2）B₁與B₂的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）粒子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，由于粒子恰好不從上邊界穿出，所以粒子在B1中的運(yùn)動(dòng)半徑必大于d1，從而求出B1的取值范圍．
（2）畫(huà)出粒子在兩個(gè)相反磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出半徑關(guān)系，從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)U加速后獲得的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理有：$q{U_{\;}}=\frac{1}{2}mv_{\;}^2$   ①
在區(qū)域Ⅰ的磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，有：$q{B_1}v=\frac{{m{v^2}}}{R_1}$      ②
要使粒子能進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，必須：R₁＞d       ③
聯(lián)立得：$0＜{B_1}＜\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$    ④
（2）兩區(qū)域磁場(chǎng)方向相反（如Ⅰ垂直紙向處，Ⅱ垂直紙面向里），則粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖
線ACD．帶電粒子在區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，由洛侖茲力提供向心力，
由：$q{B_2}v=\frac{{m{v^2}}}{R_2}$    ⑤
如圖△O₁HC∽△O₂JC，則有：$\frac{R_1}6nxitp2=\frac{R_2}{{d-{R_2}}}$    ⑥
聯(lián)立①②⑤⑥得：${B_2}-{B_1}=\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$   ⑦
答：（1）B₁的取值范圍是$0＜{B_1}＜\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$．
（2）B₁與B₂的關(guān)系式為${B_2}-{B_1}=\frac{{\sqrt{2qUm}}}{qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及的幾何關(guān)系比較少見(jiàn)，在B1中旋轉(zhuǎn)一個(gè)優(yōu)弧，在B2中旋轉(zhuǎn)一個(gè)劣弧，且與B2的上邊界相切，想方設(shè)法構(gòu)筑與寬度有關(guān)幾何圖形，利用三角函數(shù)和相似三角形是本題的關(guān)鍵，但最后要把中間參數(shù)消去．