Question

13．如圖所示坐標(biāo)系xOy中，在第二象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強電場，x≥0的區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy坐標(biāo)平面向外的勻強磁場，已知x軸上A點坐標(biāo)為（-L，0），y軸上B點的坐標(biāo)為（0，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$L）．有一個帶正電的粒子從A點以初速度v_A沿y軸正方向射入勻強電場區(qū)域，經(jīng)過B點進入勻強磁場區(qū)域，然后經(jīng)x軸上的C點（圖中未畫出）運動到坐標(biāo)原點O，不計重力．求：
（1）粒子在B點的速度v_B的大小．
（2）C點與O點的距離x_C及粒子在磁場中運動的軌道半徑R．
（3）勻強電場的電場強度與勻強磁場的磁感應(yīng)強度的比值．

Answer 1

分析 （1）粒子的電場中做類平拋運動，在沿x軸方向做勻加速直線運動，y軸方向做勻速直線運動，結(jié)合運動學(xué)公式求出粒子在M點的速度．
（2）粒子在磁場中做勻速直線運動，結(jié)合粒子在M點的速度v′與y軸正方向的夾角，根據(jù)幾何關(guān)系求出C點與O點的距離．
（3）對粒子在電場中運動運用動能定理，在磁場中運動，結(jié)合半徑公式，得出勻強電場的電場強度E與勻強磁場的磁感應(yīng)強度B的比值．

解答 解：（1）設(shè)粒子在A到B的過程中運動時間為t，在B點時速度沿x軸正方向的速度大小為v_x，則

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L=v_At，L=$\frac{1}{2}$v_xt，速度：v_B=$\sqrt{{v}_{A}^{2}+{v}_{x}^{2}}$，解得v_B=2v_A；
（2）設(shè)粒子在B點的速度v_B與y軸正方向的夾角為θ，則：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{A}}$，解得θ=60°，
粒子在x≥0的區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運動，運動軌跡如圖所示，設(shè)軌道半徑為R，
幾何關(guān)系得：2Rsinθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$L，x_c=2Rcosθ，R=$\frac{2}{3}$L，x_c=$\frac{2}{3}$L，
（或者通過判斷BC 是直徑，△OO₁C是等邊三角形，由x_c=R得到x_c=$\frac{2}{3}$L）；
（3）設(shè)勻強電場強度為E，勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，粒子質(zhì)量為m，帶電荷量為q，
由動能定理得：qEL=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv_A²，由牛頓第二定律得：qv_BB=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：$\frac{E}{B}$=$\frac{{v}_{A}}{2}$．
答：（1）粒子在B點的速度v_B是2v_A．
（2））C點與O點的距離x_c是$\frac{2}{3}$L，粒子在磁場中運動的軌道半徑R為$\frac{2}{3}$L．
（3））勻強電場的電場強度與勻強磁場的磁感應(yīng)強度的比值是$\frac{{v}_{A}}{2}$．

點評 本題考查了粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，關(guān)鍵畫出運動的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運用牛頓第二定律、動能定理等規(guī)律進行求解．