Question

【題目】如圖所示，某玩具廠設(shè)計出一個“2018”字型的豎直模型玩具，固定在足夠長的水平地面上，四個數(shù)字等高，“2”字和“8”字用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，過“2”字出口H點(diǎn)的豎直虛線與“2”字上半圓相切，“0”字是半徑為R的單層光滑圓軌道，“1”字是高度為2R的具有左右兩條通道的光滑豎直細(xì)管道，所有軌道轉(zhuǎn)角及連接處均平滑，H、F、B、C間的距離分別為3R、3R、2R。一小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）分別從“1”字軌道A端的左、右兩側(cè)通道進(jìn)入模型開始運(yùn)動，小物塊與FB、BC段軌道的動摩擦因數(shù)μ1=0.4，與HF段軌道的動摩擦因數(shù)μ2=0.15，已知R=1m。

（1）要使小物塊能通過“8“字軌道，求小物體從“1”字軌道上端右側(cè)通道射入的初速度最小值：

（2）讓小物塊以m/s的初速度從“1”字軌道上端左側(cè)通道射入，通過“0”字軌道最高點(diǎn)后從“2”字軌道J口飛出（J口末端水平)，求落地點(diǎn)到J點(diǎn)正下方的水平距離；

（3）若“0”字圓形軌道半徑可調(diào)（F點(diǎn)位置不動），且其軌道不能與其他字型重疊。現(xiàn)讓小物體從“l(fā)”字軌道上端左側(cè)通道靜止釋放，要使小物體不脫離“0”字軌道，“0”字軌道半徑R'應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

【答案】（1）4m/s（2）x=2m（3）0.8m≤R'≤3.25m或R′≤0.32m

【解析】試題分析：小物塊能通過“8”字軌道最高點(diǎn)D點(diǎn)的臨界速度為vD=0，A到D，由動能定理求初速度的最小值；A至J由動能定理求出小物塊通過J點(diǎn)的速度，再由平拋運(yùn)動的規(guī)律求落地點(diǎn)到J點(diǎn)正下方的水平距離；分析兩種情況：①小物塊恰過“0”字最高點(diǎn)G，由重力提供向心力。小物塊A至G由動能定理列式，求出“0”字軌道半徑R'。
②小物塊恰到達(dá)“0”字軌道半徑高度時速度為零，運(yùn)用動能定理求出“0”字軌道半徑R'，再得到“0”字軌道半徑R'的范圍。

（1）能通過“8”字軌道最高點(diǎn)D點(diǎn)的臨界速度為；

A至D由動能定理得：，根據(jù)以上兩式并代入數(shù)據(jù)得：vA=4m/s
（2）A至J由動能定理得：；

J飛出后至落地由平拋運(yùn)動：，x=vJt，由以上三式并代入數(shù)據(jù)得：x=2m；

（3）①小物塊恰過“0”字最高點(diǎn)G，設(shè)此時半徑為R1，對G點(diǎn)：；

A至G由動能定理得：；

代入數(shù)據(jù)得：（或）所以當(dāng)時，小物塊可以通過“0”字軌道最高點(diǎn)不脫軌。

②小物塊恰到達(dá)“0”字軌道半徑高度時速度為零，設(shè)此時半徑為，由動能定理：，代入數(shù)據(jù)得： ；

為了軌道不重疊，最大“0”字軌道與A端相碰。設(shè)此時半徑為，如圖，由勾股定理得：；

代入數(shù)據(jù)得，所以，即，小物塊也不脫軌。