Question

9．如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6kg的物體，另一端通過(guò)光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3kg的物體，M的中點(diǎn)與小孔的距離r=0.2m，已知M和水平面的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)使此平面繞中心軸線(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，并使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，試求角速度ω的范圍．

Answer 1

分析 當(dāng)此平面繞中心軸線(xiàn)以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若M恰好要向里滑動(dòng)時(shí)，ω取得最小值，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動(dòng)時(shí)，ω取得最大值，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答 解：設(shè)此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得
   T-f_max=M${ω}_{1}^{2}r$，
又T=mg
聯(lián)立得 mg-f_max=M${ω}_{1}^{2}r$，
將m=0.3kg，f_max=2N，M=0.6kg，r=0.2m代入解得ω₁=$\frac{\sqrt{3}}{0.6}$rad/s
設(shè)此平面角速度ω的最大值為ω₂，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得
  T+f_max=M${ω}_{2}^{2}L$，
又T=mg
代入解得ω₂=$\frac{\sqrt{15}}{0.6}$rad/s
故為使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，角速度ω的范圍為：$\frac{\sqrt{3}}{0.6}rad/s≤ω≤\frac{\sqrt{15}}{0.6}rad/s$．
答：為使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，角速度ω的范圍為：$\frac{\sqrt{3}}{0.6}rad/s≤ω≤\frac{\sqrt{15}}{0.6}rad/s$

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問(wèn)題，抓住當(dāng)M恰好相對(duì)此平面滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．