Question

13．神舟十號(hào)在發(fā)射過程中共經(jīng)歷多個(gè)重要的發(fā)射節(jié)點(diǎn)，進(jìn)入了運(yùn)行軌道，已知地球半徑R、地球表面重力加速度為g，質(zhì)量為m的神舟十號(hào)飛船在地球上空的萬有引力勢(shì)能表達(dá)式為E_P=-$\frac{mg{R}^{2}}{r}$（以無窮遠(yuǎn)處萬有引力勢(shì)能為O），r表示飛船到地心的距離，請(qǐng)回答下列問題：
（1）飛船在距離地面高度H的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能；
（2）若要使飛船從距離地面高度H做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道再上升高度h繞地球仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船發(fā)動(dòng)機(jī)至少要做多少功？

Answer 1

分析 （1）飛船在距離地面高度H的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解速度，得到動(dòng)能；
（2）根據(jù)功能關(guān)系，飛船發(fā)動(dòng)機(jī)做功等于增加的機(jī)械能．

解答 解：（1）飛船在距離地面高度H的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力勢(shì)能為：
E_P=-$\frac{mg{R}^{2}}{r}$=-$\frac{mg{R}^{2}}{R+H}$
萬有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{（R+H）}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+H}$
在地面，重力等于萬有引力，故：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
故機(jī)械能：
E=E_p+E_k=-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$
（2）若要使飛船從距離地面高度H做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道再上升高度h繞地球仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能變?yōu)椋?br />E′=-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H+h）}$
根據(jù)功能關(guān)系，飛船做功等于機(jī)械能的增加量，為：
W=E′-E=$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H+h）}$
答：（1）飛船在距離地面高度H的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能為-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$；
（2）若要使飛船從距離地面高度H做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道再上升高度h繞地球仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船發(fā)動(dòng)機(jī)至少要做$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H）}$-$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+H+h）}$的功．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確飛船的動(dòng)力學(xué)原理，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出動(dòng)能和機(jī)械能的表達(dá)式進(jìn)行分析，基礎(chǔ)題目．