Question

7．如圖所示，固定的AB軌道由半徑為r₁=0.6m和半徑為r₂=0.3m的兩段圓弧相切連接，其中AC弧對應的圓心角為30°，A點與圓弧的圓心O₁等高，CB弧對應的圓心角為60°，質(zhì)量為m=2kg的小物塊（可視為質(zhì)點）．從固定的光滑圓弧軌道的最高點A由靜止滑下，經(jīng)最低點B后滑到位于光滑水平面的長木板上，物塊先將彈簧壓縮至最短位置，物塊與木板的共同速度大小為v₁，彈簧后將物塊重新彈開．物塊恰好回到木板的右端而不掉下來，物塊與木板的共同速度大小為v₂，已知v₁=v₂=v=$\frac{6}{5}$m/s，長木板質(zhì)量M=3kg，其上表面與圓弧軌道相切于B點，長木板左端有長度不計的輕質(zhì)彈簧，物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，取g=10m/s²，求
（1）小滑塊經(jīng)過B點時對圓弧軌道壓力的大�。�
（2）長木板最小長度；
（3）彈簧具有的最大彈性勢能

Answer 1

分析 （1）小滑塊從A運動到B，由機械能守恒定律求出滑塊到達B點時的速度，在B點，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求出軌道對滑塊的支持力，再由牛頓第三定律求出滑塊對軌道的壓力．
（2）物塊先將彈簧壓縮至最短位置，彈簧后將物塊重新彈開，物塊恰好回到木板的右端而不掉下來，物塊與木板達到共同速度．對于滑塊和木板組成的系統(tǒng)，運用功能關(guān)系求同木板長度；
（3）滑塊向左運動與木板達到共同速度時，彈簧具有的最大彈性勢能，對系統(tǒng)，運用功能關(guān)系求出的彈簧的彈性勢．

解答 解：（1）滑塊從A到B，由機械能守恒定律得：
 mgr₁sin30°+mgr₂（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=3m/s
在B點，由牛頓第二定律可得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{r}_{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=80N
由牛頓第三定律知，小滑塊經(jīng)過B點時對圓弧軌道壓力的大小為80N．
（2）當物快恰好回到木板的右端而不掉下來時，對滑塊在木板滑行的整個過程，由功能關(guān)系可得：
   $\frac{1}{2}$（M+m）v²+2μmgx=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：
長木板最小長度 x=1.35m
（3）滑塊滑上木板將彈簧壓縮至最短時，滑塊與木板具有共同速度v，對系統(tǒng)，根據(jù)功能關(guān)系可得：
  E_P+μmgx+$\frac{1}{2}$（m+M）v²=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：
彈簧具有的最大彈性勢能 E_P=2.7J
答：
（1）小物塊經(jīng)過B點時對圓弧軌道壓力的大小為80N；
（2）長木板最小長度為1.35m；
（3）彈簧具有的最大彈性勢能為2.7J．

點評 本題關(guān)鍵要抓住物快恰好回到木板的右端而不掉下來時滑塊與木板的速度相同，當滑塊滑到最左端時滑塊與木板的速度也相同，且共同速度都是v．要注意摩擦生熱等于摩擦力與相對路程的乘積．