Question

5．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，可認為先將衛(wèi)星發(fā)射至距地面高度為h₁的圓形近地軌道上，在衛(wèi)星經過A點時點火（噴氣發(fā)動機工作）實施變軌進入橢圓軌道，橢圓軌道的近地點為A，遠地點為B．在衛(wèi)星沿橢圓軌道運動到B點（遠地點　B　在同步軌道上）時再次點火實施變軌進入同步軌道，兩次點火過程都使衛(wèi)星沿切向方向加速，并且點火時間很短．已知同步衛(wèi)星的運動周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，求
（1）衛(wèi)星在近地圓形軌道運行接近A點時的加速度大小；
（2）衛(wèi)星在橢圓形軌道上運行接近A點時的加速度大小；
（3）衛(wèi)星同步軌道距地面的高度．

Answer 1

分析 衛(wèi)星近地點A的加速度由萬有引力提供，求出萬有引力加速度就可以，在地球表面，重力和萬有引力相等，由此可以求出衛(wèi)星在近地點的加速度a，在地球同步衛(wèi)星軌道，已知衛(wèi)星的周期求出衛(wèi)星的軌道高度．

解答 解：（1）在地球表面，重力等于萬有引力，故有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$
得地球質量M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
因此衛(wèi)星在近地圓形軌道運行接近A點時的加速度大小a=$\frac{F}{m}$=$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$
（2）衛(wèi)星在橢圓形軌道上運行接近A點時的加速度大小a=$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$，
（3）因為B在地球同步衛(wèi)星軌道，周期T，衛(wèi)星受地球的萬有引力提供向心力，故有：
G$\frac{mM}{{（R+h）}^{2}}$=m（R+h）（$\frac{2π}{T}$）²
所以有：
h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
答：（1）衛(wèi)星在近地圓形軌道運行接近A點時的加速度大小是$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$；
（2）衛(wèi)星在橢圓形軌道上運行接近A點時的加速度大小是$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$；
（3）衛(wèi)星同步軌道距地面的高度是$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R

點評 根據衛(wèi)星運動時萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力分別列方程求解．會寫向心力的不同表達式．