Question

3．如圖所示，在升降機(jī)側(cè)壁上用輕繩懸掛一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球，懸線與豎直方向的夾角為θ=30°，當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g=10m/s²，忽略一切摩擦．
（1）當(dāng)升降機(jī)相對(duì)地面靜止時(shí)，求懸線對(duì)小球的拉力和升降機(jī)側(cè)壁對(duì)小球的彈力．
（2）當(dāng)升降機(jī)以a=5m/s²的加速度豎直向下勻加速開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，求懸線對(duì)小球的拉力和升降機(jī)側(cè)壁對(duì)小球的彈力．
（3）已知繩能承受的最大拉力為小球重力的$\sqrt{3}$倍，求當(dāng)升降機(jī)以多大的加速度豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩才能不被拉斷．

Answer 1

分析 對(duì)小球受力分析，細(xì)線對(duì)小球的拉力為F₁，豎直壁對(duì)球的彈力為F₂．重力G，對(duì)小球受力分析，依據(jù)水方向受力平衡，豎直方向受力平衡或做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在平衡方向列平衡方程，在由加速度的方向，由牛頓第二定律求出加速度和力的關(guān)系式，兩個(gè)方向上的公式聯(lián)合起來就能解得需要的結(jié)果．

解答 解：設(shè)小球的質(zhì)量為m，所受重力為G，F(xiàn)₁與水平面的夾角為θ，對(duì)小球受力分析如圖所示：

對(duì)小球：
F₁cosθ=mg，
F₁sinθ=F₂，
解得：
${F}_{1}=\frac{mg}{cosθ}=\frac{1×10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}N$=11.55N，
${F}_{2}=mgtanθ=1×10×\frac{\sqrt{3}}{3}N=5.77N$．
（2）當(dāng)升降機(jī)向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)小球，由牛頓第二定律得：
G-F₁sinθ=ma，
水平方向上受力平衡得：
F₂=F₁cosθ，
解得：
${F}_{1}=\frac{mg-ma}{cosθ}=\frac{1×10-1×5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=5.77N$，
${F}_{2}=m（g-a）tanθ=1×（10-5）×\frac{\sqrt{3}}{3}N=2.89N$．
（3）當(dāng)升降機(jī)以一定的加速度加速上升時(shí)，繩恰好被拉斷，則：
$\sqrt{3}mgcosθ-mg=ma$，
解得：
$a=（\sqrt{3}cosθ-1）g=（\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-1）×10=5m/{s}^{2}$．
當(dāng)升降機(jī)以a＜5m/s²的加速度豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩才能不被拉斷．
答：
（1）當(dāng)升降機(jī)相對(duì)地面靜止時(shí)，懸線對(duì)小球的拉力11.55N，升降機(jī)側(cè)壁對(duì)小球的彈力5.77N．
（2）當(dāng)升降機(jī)以a=5m/s²的加速度豎直向下勻加速開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，懸線對(duì)小球的拉力5.77N，升降機(jī)側(cè)壁對(duì)小球的彈力2.89N．
（3）已知繩能承受的最大拉力為小球重力的$\sqrt{3}$倍，當(dāng)升降機(jī)以a＜5m/s²的加速度豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩才能不被拉斷．

點(diǎn)評(píng) 本題三問采用的是一個(gè)處理方法：運(yùn)動(dòng)方向列牛頓第二定律，垂直運(yùn)動(dòng)方向列平衡方程，此方法為牛頓第二定律應(yīng)用的最經(jīng)典案例，要點(diǎn)為：運(yùn)用牛頓第二定律分析力的變化，關(guān)鍵要抓住水平方向上小球沒有加速度，力是平衡的，豎直方向合力產(chǎn)生加速度；同時(shí)注意臨界條件的確定，該題第三問不能區(qū)等號(hào)，等于5m/s²時(shí)繩子恰好被拉斷．