Question

10．靜電場(chǎng)有很多性質(zhì)，其中之一就是電場(chǎng)力做功只與電荷運(yùn)動(dòng)的初末位置有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)．

（1）如圖1所示，電子以初速度v₀沿平行于板面的方向從A點(diǎn)射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，并從另一側(cè)的C點(diǎn)射出．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e．偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可以看作勻強(qiáng)電場(chǎng)，極板間電壓為U，極板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，板間距為d．忽略電子所受重力，求電子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程中，沿垂直板面方向偏移的距離y和電場(chǎng)力對(duì)電子所做的功W；
（2）在原有電場(chǎng)區(qū)域加一個(gè)垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖2所示．使另一電子以初速度v₀′沿平行于板面的方向也從A點(diǎn)射入，在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的共同作用下，電子經(jīng)過(guò)一段復(fù)雜的路徑后仍從另一側(cè)的C點(diǎn)射出．求此過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)電子所做的功W′和電子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_c；
（3）某同學(xué)認(rèn)為在兩個(gè)帶電導(dǎo)體之間可以存在如圖3所示的靜電場(chǎng)，它的電場(chǎng)線相互平行，但間距不等．請(qǐng)你結(jié)合靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)，判斷這種電場(chǎng)是否存在，并分析論證．

Answer 1

分析 （1）由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律代入公式求解位移，再根據(jù)電場(chǎng)力作用與路徑無(wú)關(guān)，只與首末位置有關(guān)，利用功的定義式即可求解；
（2）與（1）一致求得功，再用動(dòng)能定理求得末速度；
（3）由不同路線電場(chǎng)力做功不一致來(lái)反證這種靜電場(chǎng)不存在．

解答 解：（1）電子以初速度v₀沿平行于板面的方向從A點(diǎn)射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，做類平拋運(yùn)動(dòng)；
在平行板面方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有L=v₀t；
在垂直于板面方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所以有$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{Ee}{m}{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{Ue}{md}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}\frac{Ue{L}^{2}}{md{{v}_{0}}^{2}}$；
電子在電場(chǎng)力$F=\frac{Ue}egrg7a2$作用下在F方向上運(yùn)動(dòng)了距離y，所以電場(chǎng)力對(duì)電子所做的功$W=Fy=\frac{{U}^{2}{e}^{2}{L}^{2}}{2mykn2zyd^{2}{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，所以${W}^{'}={F}^{'}y=\frac{{U}^{2}{e}^{2}{L}^{2}}{2mctjvydl^{2}{{v}_{0}}^{2}}$；
洛倫茲力處處與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不做功；所以，只有電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得：${W}^{'}=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{'2}$；
所以，${v}_{c}=\sqrt{{{v}_{0}}^{'2}+\frac{{U}^{2}{e}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}wkrvl1m^{2}{{v}_{0}}^{2}}}$；
（3）這種電場(chǎng)不可能存在．
如圖1所示，粒子沿兩個(gè)不同的路徑，從a→b，和從a→c→d→b，電場(chǎng)力做功不相同，即電場(chǎng)力做功與路徑有關(guān)，違背了靜電場(chǎng)的基本性質(zhì)，所以這樣的電場(chǎng)不可能存在．  
或：如果存在這樣的電場(chǎng)，根據(jù)等勢(shì)面的特點(diǎn)，它的等勢(shì)面ac、bd應(yīng)該如圖2所示，a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)差U_ab應(yīng)該等于c、d兩點(diǎn)的電勢(shì)差U_cd，即U_ab=U_cd．從圖中可以看出，a、b兩點(diǎn)的距離等于c、d兩點(diǎn)的距離，ab處的場(chǎng)強(qiáng)大于cd處的場(chǎng)強(qiáng)．根據(jù)U=Ed，可得U_ab＞U_cd．所以這樣的電場(chǎng)不可能存在．
答：（1）電子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程中，沿垂直板面方向偏移的距離y為 $\frac{1}{2}\frac{Ue{L}^{2}}{md{{v}_{0}}^{2}}$；電場(chǎng)力對(duì)電子所做的功W為$\frac{{U}^{2}{e}^{2}{L}^{2}}{2mxmjzgqt^{2}{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的共同作用下，電子經(jīng)過(guò)一段復(fù)雜的路徑后仍從另一側(cè)的C點(diǎn)射出．求此過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)電子所做的功W′為$\frac{{U}^{2}{e}^{2}{L}^{2}}{2mlphbls7^{2}{{v}_{0}}^{2}}$，電子經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度${v}_{c}為\sqrt{{{v}_{0}}^{'2}+\frac{{U}^{2}{e}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}xby27yy^{2}{{v}_{0}}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 電場(chǎng)力做功與路徑無(wú)關(guān)，因此，常選用一條特定路線，如前部分不做功，后部分電場(chǎng)力恒定，可以直接用功的定義式求解等簡(jiǎn)化計(jì)算；另外，對(duì)于經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速或偏轉(zhuǎn)的末速度問(wèn)題，也常用電場(chǎng)力做功，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求解．