Question

14．如圖所示為機(jī)場乘客在二樓出口處領(lǐng)取行李的示意圖，質(zhì)量m=20kg的行李在一樓A處被地勤人員無初速的放在傳送帶MN上，沿著傳送帶的中心線ABCD傳送，BCD在同一水平面上，CQD是一段圓弧形傳送帶，行李經(jīng)過B點(diǎn)前后速度大小不變．某人欲在Q處取走行李．∠QOC=β=$\frac{π}{2}$．若某次傳送帶的速率為v₀=1m/s．傳送帶各段的速度大小均相同．θ=37°，傳送帶B處距A處高度差為h=4.8m，BC=20m．假設(shè)行李與傳送帶各處的動摩擦因數(shù)均為0.8，圓弧半徑OQ=2m．（cos37°=0.8．sin37°=0.6，g取10m/s²）

（1）行李在傳送帶的AB段傳送時(shí)由于摩擦而產(chǎn)生的熱量；
（2）試判斷行李在圓弧形傳送帶上是否打滑？若不打滑，求行李從A處運(yùn)動到Q所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）行李無初速放在傳送帶上后先勻加速運(yùn)動，由牛頓第二定律求出加速度，由速度時(shí)間公式求出勻加速到速度與傳送帶相等所經(jīng)歷的時(shí)間，再求出行李勻加速運(yùn)動通過的位移，可判斷出此后行李隨傳送帶做勻速運(yùn)動．根據(jù)相對位移求產(chǎn)生的熱量．
（2）行李在圓弧形傳送帶上時(shí)，根據(jù)最大靜摩擦力與所需要的向心力關(guān)系分析是否打滑．若不打滑，由圓周運(yùn)動的公式求時(shí)間．

解答 解：（1）行李無初速放在傳送帶上后開始階段做勻加速運(yùn)動，設(shè)加速度為a．
由牛頓第二定律，得 μmgcosθ-mgsinθ=ma
得：a=0.4m/s²．
設(shè)行李做勻加速運(yùn)動的時(shí)間為t，行李加速運(yùn)動的末速度為 v=v₀=1m/s．
由v=at₁ 代入數(shù)值，得 t₁=2.5s
勻加速運(yùn)動的位移大小為：x=$\frac{1}{2}$at₁²=1.25m
此過程，傳送帶通過的距離 s=v₀t₁=2.5m
所以行李在傳送帶的AB段傳送時(shí)由于摩擦而產(chǎn)生的熱量 Q=μmgcosθ（s-x）=0.8×20×10×0.8×（2.5-1.25）J=40J
（2）行李在圓弧形傳送帶上時(shí)最大靜摩擦力 f_m=μmg=0.8×20×10N=160N
所需要的向心力 F_n=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$=20×$\frac{{1}^{2}}{2}$=10N
由于F_n＜f_m，所以不打滑．
傳送帶AB段的長度為 L=$\frac{h}{sinθ}$=8m
行李在AB段勻速運(yùn)動的時(shí)間為 t₂=$\frac{L-x}{v}$=$\frac{8-2.5}{1}$=5.5s
從B到Q的時(shí)間 t₃=$\frac{BC+\frac{1}{4}πr}{{v}_{0}}$=$\frac{20+\frac{1}{4}×π×2}{1}$=（10+2π）s
所以，行李從A到Q的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=2.5+5.5+（10+2π）=（18+2π）s．
答：
（1）行李在傳送帶的AB段傳送時(shí)由于摩擦而產(chǎn)生的熱量是40J；
（2）試判斷行李在圓弧形傳送帶上不打滑，行李從A處運(yùn)動到Q所用的時(shí)間是（18+2π）s．

點(diǎn)評 此題是傳送帶問題，關(guān)鍵要正確分析行李的運(yùn)動情況，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式分析得出行李在AB段上先加速運(yùn)動，然后再和傳送帶一起勻速運(yùn)動．要注意求摩擦生熱時(shí)要用相對位移求．