Question

18．如圖所示，質(zhì)量m=1kg的彈性小球A在長(zhǎng)為l=0.9m的細(xì)輕繩牽引下可以繞水平軸O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的最高點(diǎn)為P，P處有一個(gè)水平槽，水平地面距水平槽的高度恰好是1.8m，槽內(nèi)有許多質(zhì)量均為M=3kg的彈性鋼球，小球A每次轉(zhuǎn)動(dòng)到P點(diǎn)恰好與P點(diǎn)處的小鋼球發(fā)生彈性正碰（碰撞時(shí)間極短），鋼球水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng)．每次被小球A碰撞后，槽內(nèi)填充裝置可將另一個(gè)相同的鋼球自動(dòng)填充動(dòng)到P點(diǎn)位置且靜止．現(xiàn)將小球A在頂點(diǎn)P以v₀=32m/s的初速度向左拋出（如圖），小球均可視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²，求：
（1）第一次碰撞后瞬間，小球A和第一個(gè)鋼球獲得的速度；
（2）小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)；
（3）第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離．

Answer 1

分析 （1、2）對(duì)小球碰撞過程由動(dòng)量守恒定律及機(jī)械能守恒定律可求得碰后的速度大小，分析整體過程，得出通項(xiàng)式從而求得個(gè)數(shù)；
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離．

解答 解：（1）小球A在頂部與鋼球碰撞，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律得：
   mv₀=mv₁+Mv₁′，
 $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₁′²，
聯(lián)立解得：v₁=$\frac{m-M}{M+m}$v₀=$\frac{1-3}{3+1}$v₀=-$\frac{1}{2}$v₀=-16m/s
v₁′=$\frac{2m}{M+m}$v₀=$\frac{2×1}{3+1}$v₀=$\frac{1}{2}$v₀=16m/s
（2）利用上述方程還可得小球A第一次碰后的速度 v₁=$\frac{m-M}{M+m}$v₀=-$\frac{1}{2}$v₀
同理可知碰撞n次以后瞬間的速度為 v_n=（-$\frac{1}{2}$）ⁿv₀，負(fù)號(hào)表示與碰前入射速度方向相反，小球要能與鋼球碰撞則必須能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，所以碰n次后假定再次到達(dá)P位置，其速度大小一定有：
   v_n≥$\sqrt{gl}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s
所以：（$\frac{1}{2}$）ⁿv₀≥$\sqrt{gl}$
解得 3＜n＜4
由于n是自然數(shù)，所以n=4，小球A可以與4 個(gè)鋼球碰撞；
（3）第4個(gè)鋼球碰后速度：v₄′=（$\frac{2m}{M+m}$）⁴v₀=（$\frac{2×1}{1+3}$）⁴×32=2m/s
由于兩球是分別朝向左右兩邊做平拋運(yùn)動(dòng)的，所以水平距離是：x=x₁+x₄．
平拋時(shí)間是：t=$\sqrt{\frac{4L}{g}}$=$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$s=0.6s；
x₁=v₁t
x₄=v₄t
x=x₁+x₄
解得：x=（16+2）×0.6m=10.8m
答：
（1）第一次碰撞后瞬間，小球A和第一個(gè)鋼球獲得的速度都是16m/s；
（2）小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)是4；
（3）第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離是10.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要掌握彈性碰撞遵守的規(guī)律：動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律，運(yùn)用歸納法得到碰后小球和鋼球的速度通項(xiàng)，要注意正確分析物理過程，明確小球到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度．