Question

14．如圖所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)小孔進(jìn)入半徑R=0.25m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔．已知擺線長L=2m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=1kg，D點(diǎn)與小孔A的水平距離s=2.5m，g取10m/s²．試求：
（1）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求擺球與粗糙水平面間的摩擦因數(shù)μ的范圍．

Answer 1

分析 （1）擺球擺到D點(diǎn)時(shí)，擺線的拉力最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出擺球擺到D點(diǎn)時(shí)速度，由牛頓第二定律求出擺線的最大拉力．
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道，并且不脫離軌道，有兩種情況：一種在圓心以下做等幅擺動(dòng)；另一種能通過圓軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．
小球要?jiǎng)偤眠\(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，對小球從D到A的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ的最大值；
若小球進(jìn)入A孔的速度較小，并且不脫離軌道，那么將會(huì)在圓心以下做等幅擺動(dòng)，不脫離軌道，其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理求出動(dòng)摩擦因數(shù)．
要使擺球能進(jìn)入圓軌道，恰好到達(dá)軌道的最高點(diǎn)，就剛好不脫離軌道，在最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出此時(shí)小球的速度，對從D到軌道最高點(diǎn)的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值，即可得到μ的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)擺球由C到D運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，則得：mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：F_m-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
聯(lián)立可得：擺線的最大拉力為 F_m=2mg=10N 
（2）小球不脫圓軌道分兩種情況：
①要保證小球能達(dá)到A孔，設(shè)小球到達(dá)A孔的速度恰好為零，
對小球從D到A的過程，由動(dòng)能定理可得：-μ₁mgs=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：μ₁=0.5 
若進(jìn)入A孔的速度較小，那么將會(huì)在圓心以下做等幅擺動(dòng)，不脫離軌道．其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，由機(jī)械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=mgR
由動(dòng)能定理可得：-μ₂mgs=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得：μ₂=0.35
②若小球能過圓軌道的最高點(diǎn)則不會(huì)脫離軌道，在圓周的最高點(diǎn)由牛頓第二定律可得：$mg=m\frac{v^2}{R}$
由動(dòng)能定理可得：$-{μ_3}mgs-2mgR=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_D}^2$
解得：μ₃=0.125 
綜上，所以摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者0＜μ≤0.125 
答：（1）擺線能承受的最大拉力為10N；
（2）粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者0＜μ≤0.125．

點(diǎn)評 本題考查機(jī)械能守恒定律及動(dòng)能定理、向心力公式等；關(guān)鍵是要全面分析不能漏解，要知道擺球能進(jìn)入圓軌道不脫離軌道，有兩種情況，再根據(jù)牛頓第二定律、機(jī)械能守恒和動(dòng)能定理結(jié)合進(jìn)行求解．