Question

如圖所示，是游樂(lè)場(chǎng)翻滾過(guò)山車示意圖，斜面軌道AC，彎曲、水平軌道CDE和半徑R=7.5m的豎直圓形軌道平滑連接．質(zhì)量m=100kg的實(shí)驗(yàn)小車，從距水平面H=20m高處的A點(diǎn)靜止釋放，通過(guò)最低點(diǎn)C后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)一周后進(jìn)入彎曲、水平軌道CDE．重力加速度g=10m/s²，AC與水平面的傾角θ=37°，小車與AC的摩擦因數(shù)μ=0.3，其余不計(jì)摩擦和阻力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小車從A點(diǎn)靜止釋放到達(dá)圓形軌道最低點(diǎn)C時(shí)，軌道對(duì)小車支持力的大小
（2）計(jì)算說(shuō)明小車能不能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)B；
（3）為使小車在運(yùn)動(dòng)中不脫離圓形軌道，小車初始下落高度H值的范圍．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理求出小車到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，然后由牛頓第二定律求出軌道對(duì)C的支持力；
（2）小車經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力恰好為零時(shí)的速度是小車經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的最小速度，由牛頓第二定律求出該速度，然后由動(dòng)能定理求出小車到達(dá)B點(diǎn)的速度，然后判斷小車能否經(jīng)過(guò)B點(diǎn)；
（3）由動(dòng)能定理求出小車釋放的高度．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理得：mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

mv_C²-0，
由牛頓第二定律可得：F-mg=m

v 2 C

R

，
聯(lián)立解得：F=1320N；
（2）小車恰好通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
mg=m

v 2 Bmin

R

，
解得：v_Bmin=

gR

=

10×7.5

=5

3

m/s，
從A點(diǎn)到B點(diǎn)，mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

-mg?2R＜0，
則小車不能到達(dá)B點(diǎn)；
（3）設(shè)小車恰好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，釋放點(diǎn)的高度為H′，
則mgH′-μmgcos37°?

H′

sin37°

-mg?2R=

1

2

mv_Bmin²-0，
解得：H′=87.5m；
小車恰好到達(dá)與圓心同高位置的釋放點(diǎn)高度設(shè)為h，
則由動(dòng)能定理得：mgh-μmgcos37°?

h

sin37°

-mgR=0-0，
解得：h=12.5m；
則小車不脫離圓形軌道需要滿足的條件是：H≥87.5m或0＜H＜12.5m；
答：（1）軌道對(duì)小車支持力的大小為1320N；
（2）小車不能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)B；
（3）為使小車在運(yùn)動(dòng)中不脫離圓形軌道，小車初始下落高度H值的范圍是：H≥87.5m或0＜H＜12.5m．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理、牛頓第二定律即可正確解題．