Question

如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中，有兩條固定光滑的平行金屬導軌MN、PQ，導軌足夠長，間距為L，其電阻不計，導軌平面與磁場垂直．ab、cd為兩根垂直于導軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻均為R．質量均為 m．與金屬導軌平行的水平細線一端固定，另一端與cd棒的中點連接，細線能承受的 最大拉力為T，一開始細線處于伸直狀態(tài)．ab棒在平行導軌的水平拉力的作用下由靜止開始以加速度a向右做勻加速直線運動，兩根金屬棒運動過程中始終與導軌接觸良好且與導軌相垂直．
（1）求經多長時間細線被拉斷？
（2）若在細線被拉斷瞬間撤去拉力，試說明在以后的過程中，ab與cd捧的運動情況．
（3）求細線被拉斷后，回路中共產生多少電熱？cd棒消耗的電能多大？

Answer 1

分析：（1）ab棒向右做勻加速運動進，穿過回路abcd的磁通量增大，回路中產生感應電動勢和感應電流，cd受到向右的安培力作用，當安培力大小等于細線的最大拉力時，細線被拉斷．根據 E=BLv、I=

E

2R

、F=BIL，v=at，推導出安培力F的表達式，根據根據F=T，即可求得t；
（2）在細線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運動，cd切割磁感線產生感應電動勢，回路中總的感應電動勢將減小，感應電流減小，則ab做加速度逐漸減小的減速運動，cd做加速度逐漸減小的加速運動，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運動．
（3）根據系統動量守恒求得兩棒勻速運動時的速度，根據能量守恒求解回路總共產生的電熱．cd棒消耗的電能等于增加的動能與產生的熱量之和．

解答：解：（1）設繩被拉斷時回路中的電流為I，設拉斷時棒ab中電動勢為E，速度為v，運動時間為t，則
   E=BLv 
  I=

E

2R

  v=at 
cd棒所受的安培力為 F=BIL，
聯立解得，F=

B2L2at

2R

細線即將拉斷時，對cd有：T=F
解得：t=

2TR

aB2L2

  
（2）在細線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運動，cd切割磁感線產生感應電動勢，回路中總的感應電動勢將減小，感應電流減小，ab做加速度逐漸減小的減速運動，cd做加速度逐漸減小的加速運動，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運動．
故兩桿做加速度逐漸減小的減速運動，cd做加速度逐漸減小的加速運動，最終兩者以相同的速度做勻速直線運動．
（3）設兩棒勻速運動時的相同速度為v′，據動量守恒得：
  mv=2mv′
線斷后回路中產生的熱能
  Q_B=

1

2

mv2-

1

2

×2mv2
得：Q_B=

mT2R2

B4L4

cd棒消耗的電能
  E_cd耗=△E_kcd+Q_cd
而△E_kcd=

1

2

mv2-0
  Q_cd=

1

2

QB
解得：E_cd耗=

mT2R2

B4L4

答：
（1）經

2TR

aB2L2

時間細線被拉斷．
（2）若在細線被拉斷瞬間撤去拉力，ab做加速度逐漸減小的減速運動，cd做加速度逐漸減小的加速運動，最終兩者以共同速度v‘做勻速直線運動．
（3）細線被拉斷后，回路中共產生

1

2

QB電熱，cd棒消耗的電能為

mT2R2

B4L4

．

點評：本題雙桿模型，當cd棒不動時，只有ab棒切割磁感線產生感應電動勢，關鍵要會推導安培力的表達式．當cd棒也運動時，關鍵要正確分析兩棒的運動情況，根據動量守恒和能量守恒結合求解熱量．