Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直xOy平面指向紙面內(nèi)，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為（R，0），如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的離子，由靜止經(jīng)電場(chǎng)加速后從點(diǎn)（0，

R

2

）沿x軸正方向射入磁場(chǎng)，離子從射入到射出磁場(chǎng)通過(guò)了該磁場(chǎng)的最大距離，不計(jì)重力影響．求：
（1）離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間；   
（2）加速電場(chǎng)的加速電壓U．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．所以由幾何關(guān)系可確定運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑與已知長(zhǎng)度的關(guān)系，從而確定圓磁場(chǎng)的圓心，并能算出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）粒子獲得的動(dòng)能是加速電場(chǎng)提供，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得加速電場(chǎng)的電壓．

解答：解：（1）如圖所示，設(shè)離子從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)的速度為v．依題意，在磁場(chǎng)中通過(guò)最大距離應(yīng)是過(guò)M點(diǎn)的直徑MRN．由于離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)受洛倫茲力作用，運(yùn)動(dòng)軌跡是以MRN為弦長(zhǎng)的圓弧并從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)．

設(shè)離子從M點(diǎn)入射時(shí)速度方向與MR的夾角為α，α=arcsin

R 2

R

=

π

6

 離子在磁場(chǎng)力作用下，速度方向偏轉(zhuǎn)2α=

π

3

設(shè)離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則qvB=

mv2

r

離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=

2πr

v

=

2πm

qB

所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=

T

6

=

1

6

×

2πm

qB

=

πm

3qB

（2）設(shè)離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則qvB=

mv2

r

由幾何關(guān)系得r=2R
粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理，有qU=

1

2

mv2
聯(lián)立以上各式解得：U=

2B2R2q

m

．
答：（1）離子在磁場(chǎng)區(qū)域經(jīng)歷的時(shí)間是

πm

3qB

；   
（2）加速電場(chǎng)的加速電壓是

2B2R2q

m

．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)題意剛好得出帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，這是本題的突破點(diǎn)．當(dāng)?shù)贸鲞@一條件時(shí)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡可以確定，從而求出圓磁場(chǎng)的圓心位置，再運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)運(yùn)動(dòng)分解處理．