Question

6．人造地球衛(wèi)星P繞地球球心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，距地球球心的距離為r，地球的質(zhì)量為M，引力常量為G．
（1）求衛(wèi)星P繞地球運(yùn)行周期；
（2）現(xiàn)有另一地球衛(wèi)星Q，Q繞地球運(yùn)行的周期是衛(wèi)星P繞地球運(yùn)行周期的8倍，且P、Q的運(yùn)行軌跡位于同一平面內(nèi)，如圖所示，求衛(wèi)星P、Q在繞地球運(yùn)行過程中，兩星間相距最近時(shí)的距離多大；
（3）若第（2）問的衛(wèi)星Q與衛(wèi)星P在某時(shí)刻相距最近，求此后經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間P、Q、地球三者共線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出衛(wèi)星P繞地球運(yùn)動(dòng)的周期．
（2）根據(jù)周期的關(guān)系求出衛(wèi)星Q的軌道半徑，當(dāng)P、Q、地球共線且P、Q位于地球同側(cè)時(shí)最近．
（3）根據(jù)兩衛(wèi)星的周期關(guān)系，求出三者共線經(jīng)歷的時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，衛(wèi)星P繞地球運(yùn)行的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
（2）Q繞地球運(yùn)行的周期是衛(wèi)星P繞地球運(yùn)行周期的8倍，根據(jù)T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$知，r_Q=4r，
P、Q、地球共線且P、Q位于地球同側(cè)時(shí)最近，最近距離d=4r-r=3r．
（3）當(dāng)衛(wèi)星P和Q同向繞行時(shí)，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間三者共線，有：$\frac{2π}{{T}_{p}}t-\frac{2π}{{T}_{Q}}t=nπ$，
解得t=$\frac{8nπ}{7}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，（n=1、2、3…）  
當(dāng)衛(wèi)星P和Q反向繞行時(shí)，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間三者共線，有：$\frac{2π}{{T}_{p}}t+\frac{2π}{{T}_{Q}}t=nπ$，
解得t=$\frac{8nπ}{9}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$．
答：（1）衛(wèi)星P繞地球運(yùn)行周期為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$；
（2）衛(wèi)星P、Q在繞地球運(yùn)行過程中，兩星間相距最近時(shí)的距離為3r；
（3）同向繞行時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間為t=$\frac{8nπ}{7}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，（n=1、2、3…），反向繞行時(shí)，經(jīng)歷的時(shí)間t=$\frac{8nπ}{9}\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一重要理論，知道周期與軌道半徑的關(guān)系，結(jié)合轉(zhuǎn)過的角度關(guān)系求出共線的時(shí)間，難度中等．