Question

【題目】如圖所示，半徑分別為R＝1 m和r＝0.5 m的甲、乙兩光滑圓軌道置于同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一段光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上一輕彈簧被a、b兩小球夾住，現(xiàn)同時(shí)由靜止釋放兩小球，重力加速度取g＝10 m/s2.

①如果a、b小球都恰好能夠通過(guò)各自圓軌道的最高點(diǎn)，求兩小球的質(zhì)量之比；

②如果a、b小球的質(zhì)量均為0.5 kg，為保證兩小球都能夠通過(guò)各自圓軌道的最高點(diǎn)，求釋放兩小球前彈簧彈性勢(shì)能的最小值．

【答案】(1) (2)

【解析】根據(jù)牛頓第二定律得出最高點(diǎn)的速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，動(dòng)量守恒定律列出等式求解；由動(dòng)量守恒定律知兩小球與彈簧分離時(shí)速度大小相等，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解．

已知a、b小球恰好能通過(guò)各自圓軌道的最高點(diǎn)，則它們通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小分別為，

設(shè)兩小球與彈簧分離時(shí)的速度大小分別為 ，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有

根據(jù)機(jī)械能守恒定律有，，。聯(lián)立以上各式解得

②若ma=mb=0.5 kg，由動(dòng)量守恒定律知兩小球與彈簧分離時(shí)速度大小相等

當(dāng)a小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，b小球一定也能通過(guò)最高點(diǎn)，a小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度為，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最小，最小值為

【點(diǎn)睛】解決該題關(guān)鍵能判斷出小球能通過(guò)最高點(diǎn)的條件，然后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立列式求解。

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】如圖所示，在第一象限內(nèi)有沿y軸負(fù)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)．在第二象限中，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓形區(qū)域與x、y軸分別相切于A、C兩點(diǎn)．在A點(diǎn)正下方有一個(gè)粒子源P，P可以向x軸上方各個(gè)方向射出速度大小均為v0、質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子(重力不計(jì)，不計(jì)粒子間的相互作用)，其中沿y軸正向射出的帶電粒子剛好從C點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)．

(1)求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B.

(2)求帶電粒子到達(dá)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)范圍和帶電粒子到達(dá)x軸前運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍．

(3)如果將第一象限內(nèi)的電場(chǎng)方向改為沿x軸負(fù)方向，分析帶電粒子將從何處離開(kāi)磁場(chǎng)，可以不寫出過(guò)程．

Answer 1

【答案】(1) (2)x的范圍，t的范圍 (3)從A點(diǎn)正上方的D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)

【解析】試題分析:由題設(shè)條件，從A點(diǎn)沿y軸正方向射出的帶電粒子剛好從C點(diǎn)垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)，由幾何關(guān)系知道它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，再由洛侖茲力提供向心力可以求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；由于所有粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)圓的半徑，可以證明：沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)方向均沿x軸正方向進(jìn)入電場(chǎng)，之后做類平拋運(yùn)動(dòng)，顯然運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的帶電粒子是從D點(diǎn)水平射出的粒子，由類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律就能求出打在x軸的最遠(yuǎn)點(diǎn)；若將第一象限的電場(chǎng)改為沿x軸負(fù)方向，則粒子從磁場(chǎng)水平射出后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至速度為零，再沿x軸負(fù)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于速度方向反向，則粒子所受洛侖茲力反向，最后從D點(diǎn)射出磁場(chǎng).

(1)帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為個(gè)圓弧，軌跡半徑r=R

由，得

(2)沿不同方向進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小均為v0，方向均平行于x軸，其臨界狀態(tài)為粒子從D點(diǎn)沿x軸正方向離開(kāi)磁場(chǎng)

分析粒子從D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的情況，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，得

從D點(diǎn)平行于x軸運(yùn)動(dòng)至y軸的時(shí)間

在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t3，則，，

解得，

則

帶電粒子到達(dá)x軸時(shí)的橫坐標(biāo)范圍為

到達(dá)x軸前運(yùn)動(dòng)時(shí)間的范圍

(3)將第一象限內(nèi)的電場(chǎng)方向改為沿x軸負(fù)方向時(shí)，帶電粒子將從A點(diǎn)正上方的D點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。