Question

5．如圖甲所示，A、B為光滑水平地面上相距d的兩擋板，在A、B的之間有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P．若在P上加上如圖乙所示隨時間t變化的作用力F（取向右為F的正方向），在t=0時質(zhì)點P位于A、B間的中點處且初速為0．已知質(zhì)點P能在A、B之間以最大的幅度運動而不與兩板相碰，且質(zhì)點P開始從中點運動到最右邊，以后每次從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的過程中，力F只改變一次．要求：

（1）求質(zhì)點P由AB的中點從靜止開始第一次運動到最右邊的時間t；
（2）導出圖乙中時刻t₂的表達式；
（3）導出圖乙中時刻t_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點從B板向A板先做加速運動，后做減速運動，位移之和等于$\frac{1}{2}$d，由速度公式和位移公式列式求解t的表達式．
（2）尋找每次加速和減速的規(guī)律，得出t_n的表達式

解答 解：（1）質(zhì)點運動加速度大小a=$\frac{F}{m}$=g
在t=0時，P自A、B間的中點向右作初速為0的勻加速運動，加速度為g．經(jīng)過時間t₁，P的速度變?yōu)関₁，此時加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運動，再經(jīng)過t₁，P正好達到B板且速度變?yōu)?．故有
v₁=g t₁
0=v₁-gt₁
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$+v₁t₁-$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$由以上各式得t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\fracoez2gue{g}}$得t=t₁+t₁=$\sqrt{2}\sqrt{\frackad9poz{g}}$
（2）P由B板處向左做勻加速運動，經(jīng)過時間t₂，P的速度變?yōu)関₂，方向向左．此時加速度變?yōu)橄蛴�，P向左作勻減速運動，再經(jīng)過t₃，P正好達到A板且速度變?yōu)?．故有
v₂=gt₂
0=v₂-gt₃
d=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$+v₂t₃-$\frac{1}{2}$g${t}_{3}^{2}$由以上各式得   t₂=t₃=$\sqrt{\fracxrqadk2{g}}$則 t₂=t₁+t₁+t₂=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\frack7zbxtz{g}}$質(zhì)點P又由A板向右作勻加速運動，經(jīng)過時間t₄，速度變?yōu)関₃，此時加速度變?yōu)橄蜃�，P向右作勻減速運動，經(jīng)過t₅，P正好達到B板且速度變?yōu)?．故有
v₃=gt₄
0=v₃-gt₅
d=$\frac{1}{2}$g${t}_{4}^{2}$+v₃t₅-$\frac{1}{2}$g${t}_{5}^{2}$由上得 t₄=t₅=$\sqrt{\frac0nt972t{g}}$t₃=t₂+t₃+t₄=（ $\sqrt{2}$+3）$\sqrt{\frac0fi479q{g}}$根據(jù)上面分析，除第一次P從中點運動到最右點外，以后每次從從最左邊到最右邊或從最右邊到最左邊的運動，都是先做勻加速運動，再做勻減速運動，且每次勻加速運動和勻減速運動的時間相等，即
t₂=t₃=t₄=t₅=…=$\sqrt{\fracxgyw2na{g}}$則t_n=t+（2n-3）t₂  （n≥2）
得t_n=（ $\sqrt{2}$+2n-3）$\sqrt{\fracbo7w9v2{g}}$（n≥2）
答：（1）質(zhì)點P從AB的中點從靜止開始出發(fā)第一次運動到最右點的時間t為 $\sqrt{2}\sqrt{\fracc2u9ozy{g}}$；
（2）導出圖乙中時刻t₂的表達式為t₂=$\sqrt{\frac2msu7c4{g}}$；
（3）導出圖乙中時刻t_n的表達式為t_n=（ $\sqrt{2}$+2n-3）$\sqrt{\fraclneryie{g}}$（n≥2）

點評 本題是質(zhì)點在周期性變化的作用力作用下的運動問題，分析質(zhì)點的運動情況、把握運動規(guī)律是關(guān)鍵