Question

20．在粗糙的水平面上，有一個(gè)質(zhì)量為4kg的物塊，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，為了使物塊在水平面上勻速滑動(dòng)，需對(duì)物塊加一個(gè)拉力．（重力加速度g=10m/s²）．求：
（1）物塊所受摩擦力和支持力的合力的方向與豎直方向的夾角．
（2）施加的拉力的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)滑動(dòng)摩擦定律公式f=μF_N求解物塊所受摩擦力和支持力的合力的方向與豎直方向的夾角即可；
（2）對(duì)物體受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根據(jù)平衡條件，如果將水平面對(duì)物體的彈簧和摩擦力看作一個(gè)力，可以用合成法作圖求解；也可以采用正交分解法列式求解拉力的表達(dá)式后進(jìn)行分析．

解答 解：（1）設(shè)支持力為F_N，則動(dòng)摩擦力為f=μF_N，
由幾何關(guān)系知$tanθ=\frac{{μ{F_N}}}{F_N}=μ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
故θ=30°，即物體所受摩擦力和支持力的合力的方向與豎直方向成30°角；
（2）方法一：合成法
由于物塊勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件F_合=0，

即拉力與摩擦力和支持力的合力F的合力與重力大小相等、方向相反，
由幾何關(guān)系知${F}_{T}=mgsin30°=\frac{1}{2}mg=20N$，
所以最小拉力為20N，與水平方向成30°；
方法二：三角函數(shù)法
設(shè)拉力為F，與水方向夾角為α，
水平方向上：f=μF_N=Fcosα，
豎直方向上：F_N+Fsinθ=mg，
聯(lián)立可得：$F=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×40}{sinα+\frac{\sqrt{3}}{3}cosα}N=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×40}{\frac{2}{\sqrt{3}}[\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα]}N=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×40}{\frac{2}{\sqrt{3}}sin（α+60°）}N$，
故F的最小值為$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}×40}}{{\frac{2}{{\sqrt{3}}}}}N=20N$，此時(shí)α=30°；
答：（1）物塊所受摩擦力和支持力的合力的方向與豎直方向的夾角為30°．
（2）施加的拉力的最小值為20N．

點(diǎn)評(píng) 本題是力平衡問題，關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡條件列式求解．共點(diǎn)力平衡的處理方法：
（1）三力平衡的基本解題方法：①力的合成、分解法：即分析物體的受力，把某兩個(gè)力進(jìn)行合成，將三力轉(zhuǎn)化為二力，構(gòu)成一對(duì)平衡力，二是把重力按實(shí)際效果進(jìn)行分解，將三力轉(zhuǎn)化為四力，構(gòu)成兩對(duì)平衡力．②相似三角形法：利用矢量三角形與幾何三角形相似的關(guān)系，建立方程求解力的方法．應(yīng)用這種方法，往往能收到簡(jiǎn)捷的效果．
（2）多力平衡的基本解題方法：正交分解法，利用正交分解方法解體的一般步驟：①明確研究對(duì)象；②進(jìn)行受力分析；③建立直角坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是讓盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上，將不在坐標(biāo)軸上的力正交分解；④x方向，y方向分別列平衡方程求解．